Helppppppppppppppppppppp

Giải thích các bước giải:

$\begin{align*}
& \text{Đặt } A = \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{36} + \frac{1}{64} + \frac{1}{100} + \frac{1}{144} + \frac{1}{196} \\
& \text{Ta có:} \\
& A = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{6^2} + \frac{1}{8^2} + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{12^2} + \frac{1}{14^2} \\
& \text{Vì } 4^2 = 16 > 15 = 3 \cdot 5 \Rightarrow \frac{1}{4^2} < \frac{1}{3 \cdot 5} \\
& \text{Vì } 6^2 = 36 > 35 = 5 \cdot 7 \Rightarrow \frac{1}{6^2} < \frac{1}{5 \cdot 7} \\
& \text{Vì } 8^2 = 64 > 63 = 7 \cdot 9 \Rightarrow \frac{1}{8^2} < \frac{1}{7 \cdot 9} \\
& \dots \\
& \text{Vì } 14^2 = 196 > 195 = 13 \cdot 15 \Rightarrow \frac{1}{14^2} < \frac{1}{13 \cdot 15} \\
& \text{Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta có:} \\
& A < \frac{1}{4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 13} + \frac{1}{13 \cdot 15} \\
& \text{Suy ra:} \\
& A < \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{5 \cdot 7} + \frac{2}{7 \cdot 9} + \dots + \frac{2}{13 \cdot 15} \right) \\
& \text{Áp dụng công thức tách phân số } \frac{k}{a(a+k)} = \frac{1}{a} - \frac{1}{a+k}\text{, ta được:} \\
& A < \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots + \frac{1}{13} - \frac{1}{15} \right) \\
& A < \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{15} \right) \\
& A < \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{5}{15} - \frac{1}{15} \right) \\
& A < \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{15} \\
& A < \frac{1}{4} + \frac{2}{15} \\
& \text{Quy đồng mẫu số chung là 60:} \\
& A < \frac{15}{60} + \frac{8}{60} = \frac{23}{60} \\
& \text{Nhận thấy } \frac{23}{60} < \frac{30}{60} = \frac{1}{2}. \text{ Theo tính chất bắc cầu, ta suy ra:} \\
& A < \frac{1}{2} \quad \text{(Điều phải chứng minh).}
\end{align*}$