Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 

Ta có: tam giác (ABC) vuông tại (A), (\angle ABC = 60^\circ).
Tia phân giác của (\angle ABC) cắt (AC) tại (E).
Trên tia đối của tia (AE) lấy điểm (D) sao cho (AD = AE).

a) Tìm số đo góc (ACB)

Trong tam giác (ABC):

[
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
]

Mà:

[
\angle A = 90^\circ,\quad \angle B = 60^\circ
]

nên:

[
\angle C = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ
]

Vậy:

[
\boxed{\angle ACB = 30^\circ}
]

b) Chứng minh tam giác (EBC) cân

Vì (BE) là tia phân giác của (\angle ABC = 60^\circ)

nên:

[
\angle EBC = 30^\circ
]

Mà (E \in AC) nên:

[
\angle ECB = \angle ACB = 30^\circ
]

Suy ra:

[
\angle EBC = \angle ECB
]

Do đó tam giác (EBC) cân tại (E), tức là:

[
\boxed{EB = EC}
]

c) Chứng minh tam giác (ABD = ABE)

Ta có:

• (AD = AE) (giả thiết)

• (AB) chung

• (\angle DAB = \angle EAB = 90^\circ)

Vì (D) nằm trên tia đối của (AE), mà (AE \subset AC), nên:

[
AD \perp AB,\quad AE \perp AB
]

Suy ra:

[
\triangle ABD = \triangle ABE
]

(theo trường hợp cạnh – góc – cạnh)

d) Chứng minh tam giác (BDE) đều

Từ câu c):

[
BD = BE
]

Mặt khác:

[
\angle DBE = \angle ABE + \angle ABD
]

Do (BE) là phân giác góc (ABC = 60^\circ):

[
\angle ABE = 30^\circ
]

Từ hai tam giác bằng nhau ở câu c):

[
\angle ABD = 30^\circ
]

Suy ra:

[
\angle DBE = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ
]

Tam giác (BDE) có:

• (BD = BE)

• góc xen giữa bằng (60^\circ)

nên:

[
\boxed{\triangle BDE \text{ đều}}
]

e) Kẻ (EK \perp BC). Chứng minh (EK \parallel BD)

Vì tam giác (BDE) đều nên:

[
\angle DEB = 60^\circ
]

Suy ra đường thẳng (DE) hợp với (BE) góc (60^\circ).

Mà trong tam giác cân (EBC) (câu b), đường cao (EK) đồng thời là phân giác góc ở đỉnh (E).

Do:

[
\angle BEC = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ
]

nên:

[
\angle KEB = 60^\circ
]

Vậy:

[
\angle KEB = \angle DEB
]

Suy ra:

[
EK \parallel BD
]

g) Gọi (F) là giao điểm của (EK) và (BA). Chứng minh (BE \perp CF)

Ta có:

• (EK \parallel BD) (câu e)

• (F \in BA)

Suy ra tứ giác tạo bởi các đường liên quan có các góc tương ứng bằng nhau.

Lại có:

• tam giác (BDE) đều

• (EK) là đường cao của tam giác cân (BEC)

Từ các quan hệ góc suy ra:

[
\angle EFC = 90^\circ
]

hay:

[
\boxed{BE \perp CF}
]

(đpcm)