Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \textbf{1) } \frac{x-2}{4} + \frac{x+1}{6} = \frac{2x}{3} \\
& \Leftrightarrow \frac{3(x-2)}{12} + \frac{2(x+1)}{12} = \frac{4 \cdot 2x}{12} \\
& \Leftrightarrow 3x - 6 + 2x + 2 = 8x \\
& \Leftrightarrow 5x - 4 = 8x \\
& \Leftrightarrow 3x = -4 \Leftrightarrow x = -\frac{4}{3} \\
& \text{Vậy tập nghiệm của phương trình là } S = \left\{-\frac{4}{3}\right\}. \\[10pt]

& \textbf{2) } \frac{2x+1}{3} + \frac{3x-2}{2} = \frac{1}{6} \\
& \Leftrightarrow \frac{2(2x+1)}{6} + \frac{3(3x-2)}{6} = \frac{1}{6} \\
& \Leftrightarrow 4x + 2 + 9x - 6 = 1 \\
& \Leftrightarrow 13x - 4 = 1 \\
& \Leftrightarrow 13x = 5 \Leftrightarrow x = \frac{5}{13} \\
& \text{Vậy tập nghiệm của phương trình là } S = \left\{\frac{5}{13}\right\}. \\[10pt]

& \textbf{3) } \frac{x}{3} + \frac{2x-6}{6} = 2 - \frac{x}{3} \\
& \Leftrightarrow \frac{2x}{6} + \frac{2x-6}{6} = \frac{12}{6} - \frac{2x}{6} \\
& \Leftrightarrow 2x + 2x - 6 = 12 - 2x \\
& \Leftrightarrow 4x - 6 = 12 - 2x \\
& \Leftrightarrow 6x = 18 \Leftrightarrow x = 3 \\
& \text{Vậy tập nghiệm của phương trình là } S = \{3\}. \\[20pt]

& \textbf{1) } \frac{x-1}{2015} + \frac{x-3}{2013} = \frac{x-5}{2011} + \frac{x-7}{2009} \\
& \text{Trừ } 1 \text{ vào mỗi phân thức ở cả hai vế, ta được:} \\
& \Leftrightarrow \left( \frac{x-1}{2015} - 1 \right) + \left( \frac{x-3}{2013} - 1 \right) = \left( \frac{x-5}{2011} - 1 \right) + \left( \frac{x-7}{2009} - 1 \right) \\
& \Leftrightarrow \frac{x-2016}{2015} + \frac{x-2016}{2013} = \frac{x-2016}{2011} + \frac{x-2016}{2009} \\
& \Leftrightarrow \frac{x-2016}{2015} + \frac{x-2016}{2013} - \frac{x-2016}{2011} - \frac{x-2016}{2009} = 0 \\
& \Leftrightarrow (x-2016) \left( \frac{1}{2015} + \frac{1}{2013} - \frac{1}{2011} - \frac{1}{2009} \right) = 0 \\
& \text{Vì } \frac{1}{2015} + \frac{1}{2013} - \frac{1}{2011} - \frac{1}{2009} \neq 0 \\
& \Leftrightarrow x - 2016 = 0 \Leftrightarrow x = 2016 \\
& \text{Vậy tập nghiệm của phương trình là } S = \{2016\}. \\[10pt]

& \textbf{2) } \frac{x+1}{94} + \frac{x+2}{93} + \frac{x+3}{92} = \frac{x+4}{91} + \frac{x+5}{90} + \frac{x+6}{89} \\
& \text{Cộng } 1 \text{ vào mỗi phân thức ở cả hai vế, ta được:} \\
& \Leftrightarrow \left( \frac{x+1}{94} + 1 \right) + \left( \frac{x+2}{93} + 1 \right) + \left( \frac{x+3}{92} + 1 \right) = \left( \frac{x+4}{91} + 1 \right) + \left( \frac{x+5}{90} + 1 \right) + \left( \frac{x+6}{89} + 1 \right) \\
& \Leftrightarrow \frac{x+95}{94} + \frac{x+95}{93} + \frac{x+95}{92} = \frac{x+95}{91} + \frac{x+95}{90} + \frac{x+95}{89} \\
& \Leftrightarrow \frac{x+95}{94} + \frac{x+95}{93} + \frac{x+95}{92} - \frac{x+95}{91} - \frac{x+95}{90} - \frac{x+95}{89} = 0 \\
& \Leftrightarrow (x+95) \left( \frac{1}{94} + \frac{1}{93} + \frac{1}{92} - \frac{1}{91} - \frac{1}{90} - \frac{1}{89} \right) = 0 \\
& \text{Vì } \frac{1}{94} + \frac{1}{93} + \frac{1}{92} - \frac{1}{91} - \frac{1}{90} - \frac{1}{89} \neq 0 \\
& \Leftrightarrow x + 95 = 0 \Leftrightarrow x = -95 \\
& \text{Vậy tập nghiệm của phương trình là } S = \{-95\}.
\end{aligned}$