Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Tổng số trận đấu của giải là: } \frac{16 \cdot 15}{2} = 120 \text{ (trận).} \\
& \text{Trong mỗi trận đấu, nếu có kết quả thắng - thua thì tổng điểm của 2 đấu thủ là: } 3 + 0 = 3 \text{ (điểm).} \\
& \text{Nếu kết quả hòa thì tổng điểm của 2 đấu thủ là: } 1 + 1 = 2 \text{ (điểm).} \\[15pt]

& \text{a) Gọi } x \text{ là số trận có thắng - thua, } y \text{ là số trận hòa } (x, y \in \mathbb{N}, x + y = 120). \\
& \text{Tổng số điểm của cả 16 đấu thủ trong giải là: } S = 3x + 2y = 2(x + y) + x = 240 + x. \\
& \text{Giả sử trong giải có ít nhất 1 trận phân định thắng thua (} x \ge 1 \text{), suy ra } S \ge 241 \text{ (điểm).} \\
& \text{Nếu tất cả 16 đấu thủ đều có số điểm ít hơn 16 (tức là cao nhất đạt 15 điểm),} \\
& \text{thì tổng số điểm của cả giải nhiều nhất là: } 16 \cdot 15 = 240 \text{ (điểm).} \\
& \text{Điều này mâu thuẫn với } S \ge 241. \\
& \text{Vậy theo nguyên lý Dirichlet, phải có ít nhất 1 đấu thủ có số điểm } \ge 16 \text{ điểm. (Đpcm)} \\

& \text{b) Giả sử có } k \text{ đấu thủ đều có số điểm nhiều hơn 31 (tức là đạt từ } 32 \text{ điểm trở lên).} \\
& \text{Với } k \in \mathbb{N}^* \text{ và } 1 \le k \le 16. \\
& \text{Tổng số điểm của } k \text{ đấu thủ này thu được ít nhất là: } 32k \text{ (điểm). \quad (1)} \\
& \text{Mặt khác, số điểm của } k \text{ đấu thủ này kiếm được tối đa từ hai nguồn trận đấu:} \\
& \text{- Nguồn 1 (Đấu nội bộ): Các trận đấu giữa } k \text{ đấu thủ với nhau.} \\
& \text{Số trận đấu nội bộ là } \frac{k(k-1)}{2} \text{ trận. Tổng điểm tối đa từ các trận này là: } 3 \cdot \frac{k(k-1)}{2}. \\
& \text{- Nguồn 2 (Đấu vòng ngoài): Các trận đấu giữa } k \text{ đấu thủ này với } 16 - k \text{ đấu thủ còn lại.} \\
& \text{Số trận đấu vòng ngoài là } k(16 - k) \text{ trận. Tổng điểm tối đa từ các trận này là: } 3 \cdot k(16 - k). \\
& \text{Vậy tổng số điểm tối đa mà } k \text{ đấu thủ này có thể đạt được là: } \\
& S_k = \frac{3k(k-1)}{2} + 3k(16-k). \quad \text{(2)} \\
& \text{Từ (1) và (2), ta thiết lập được bất phương trình:} \\
& 32k \le \frac{3k(k-1)}{2} + 3k(16-k) \\
& \text{Vì } k > 0 \text{, chia cả hai vế cho } k \text{, ta được:} \\
& 32 \le \frac{3(k-1)}{2} + 3(16-k) \\
& \Leftrightarrow 64 \le 3(k-1) + 6(16-k) \\
& \Leftrightarrow 64 \le 3k - 3 + 96 - 6k \\
& \Leftrightarrow 64 \le 93 - 3k \\
& \Leftrightarrow 3k \le 29 \Rightarrow k \le \frac{29}{3} = 9\frac{2}{3}. \\
& \text{Vì } k \text{ là số nguyên dương nên } k \le 9. \\
& \text{Kết luận: } \text{Không thể có nhiều hơn 9 đấu thủ đạt số điểm lớn hơn 31 điểm. (Đpcm)}
\end{aligned}$