Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 $c)$

Gọi $O=AC∩BD$

Ta có$:\ CD \perp AD$   $(ABCD$ là hình vuông$)$

Mà $SA \perp (ABCD)$

$⇒SA \perp CD$

$\Rightarrow\left\{
\begin{array}{l}
CD\perp SA\\
CD\perp AD\\
SA\cap AD=A
\end{array}
\right.$

Mà $SA,\ AD ⊂ (SAD)$

$⇒CD \perp (SAD)$

$⇒$ Hình chiếu vuông góc của $C$ lên $(SAD)$ là $D$

Mà $S,D ∈ (SAD)$

$⇒$ Hình chiếu của $S,\ D$ vẫn là $S,\ D$

Hình chiếu của $ΔSCD$ lên $(SAD)$ là $SD$

$⇒\text{Sai}$

$d)$

$ABCD$ là hình vuông

$⇒AC \perp BD$

Mà $SA \perp (ABCD)$

$⇒SA \perp BD$

$⇒BD \perp (SAC)$

Ta có$:\left\{
\begin{array}{l}
(SAC)∩(SBD)=SO\\
(SAC)∩(CBD)=CO
\end{array}
\right.$

Mà $\left\{
\begin{array}{l}
SO,\ CO⊂ (SAC)\\
O ∈ BD
\end{array}
\right.$

$⇒\left\{
\begin{array}{l}
SO \perp BD\\
CO \perp BD
\end{array}
\right.$

$⇒\alpha=\widehat{SOC}$  $(\text{góc nhị diện}\ [S,BD,C])$

Xét $ΔSAO$ vuông tại $A:$

$SA=a\sqrt{3}$

$AO=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

$⇒\text{tan}\ \widehat{SOA}=\dfrac{SA}{AO}=\dfrac{a\sqrt{3}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{6}$

$A,O,C$ thẳng hàng

$⇒\widehat{SOC}+\widehat{SOA}=180^\circ$

$⇒\widehat{SOC}=180^\circ-\widehat{SOA}$

$⇒\text{tan}\ \alpha=\text{tan}\ \widehat{SOC}=-\text{tan}\ \widehat{SOA}=-\sqrt{6}$

$⇒\text{Đúng}$