Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Xét phương trình: } x^2 - 3x + 1 = 0 \\
& \text{Ta có } \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5 > 0, \text{ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt } x_1, x_2. \\
& \text{Theo hệ thức Vi-ét, ta có:} \\
& \begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 x_2 = 1 \end{cases} \\
& \text{Ta có:} \\
& (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = 3^2 - 4 \cdot 1 = 5 \\
& \Rightarrow x_1 - x_2 = \pm\sqrt{5} \\
& \text{Vì } x_1, x_2 \text{ là nghiệm của phương trình ban đầu nên ta có:} \\
& \begin{cases} x_1^2 - 3x_1 + 1 = 0 \Rightarrow x_1^2 - 3x_1 = -1 \\ x_2^2 - 3x_2 + 1 = 0 \Rightarrow x_2^2 = 3x_2 - 1 \end{cases} \\
& \text{Thay các hệ thức trên vào biểu thức } M\text{, ta được:} \\
& M = \dfrac{3x_1 - 1}{-1} + \dfrac{x_2^2}{-1 + 9} \\
& M = -(3x_1 - 1) + \dfrac{3x_2 - 1}{8} \\
& M = 1 - 3x_1 + \dfrac{3x_2 - 1}{8} \\
& M = \dfrac{8 - 24x_1 + 3x_2 - 1}{8} \\
& M = \dfrac{7 - 24x_1 + 3x_2}{8} \\
& \text{Thay } x_2 = 3 - x_1 \text{ (từ hệ thức Vi-ét) vào biểu thức, ta có:} \\
& M = \dfrac{7 - 24x_1 + 3(3 - x_1)}{8} \\
& M = \dfrac{7 - 24x_1 + 9 - 3x_1}{8} \\
& M = \dfrac{16 - 27x_1}{8} \quad (*) \\
& \text{Mặt khác:} \\
& x_1 = \dfrac{(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2)}{2} = \dfrac{3 + (x_1 - x_2)}{2} \\
& \text{Thay } x_1 \text{ vào } (*)\text{, ta được:} \\
& M = \dfrac{16 - 27 \cdot \dfrac{3 + (x_1 - x_2)}{2}}{8} \\
& M = \dfrac{\dfrac{32 - 81 - 27(x_1 - x_2)}{2}}{8} \\
& M = \dfrac{-49 - 27(x_1 - x_2)}{16} \\
& \text{Trường hợp 1: } x_1 > x_2 \Rightarrow x_1 - x_2 = \sqrt{5} \\
& \Rightarrow M = \dfrac{-49 - 27\sqrt{5}}{16} \\
& \text{Trường hợp 2: } x_1 < x_2 \Rightarrow x_1 - x_2 = -\sqrt{5} \\
& \Rightarrow M = \dfrac{-49 - 27(-\sqrt{5})}{16} = \dfrac{-49 + 27\sqrt{5}}{16} \\[10pt]
& \text{Kết luận: } M = \dfrac{-49 - 27\sqrt{5}}{16} \text{ (nếu } x_1 > x_2\text{) hoặc } M = \dfrac{-49 + 27\sqrt{5}}{16} \text{ (nếu } x_1 < x_2\text{).}
\end{aligned}$