a)

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta EHC$:

$\widehat{BAC} = \widehat{HEC} = 90^\circ$ (giả thiết)

$\widehat{C}$ chung

$\Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta EHC$ (g-g)

Vậy $\Delta ABC \sim \Delta EHC$.

b)

Vì $\Delta ABC \sim \Delta EHC$ (cmt)

$\Rightarrow \dfrac{AC}{EC} = \dfrac{BC}{HC}$

$\Rightarrow \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{EC}{HC}$

Xét $\Delta EAC$ và $\Delta HBC$:

$\widehat{C}$ chung

$\dfrac{AC}{BC} = \dfrac{EC}{HC}$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta EAC \sim \Delta HBC$ (c-g-c)

$\Rightarrow \widehat{EAC} = \widehat{HBC}$ (hai góc tương ứng)

Vậy $\widehat{HBC} = \widehat{EAC}$.

c)

Xét $\Delta AHI$ và $\Delta BEI$:

$\widehat{IAH} = \widehat{IBE}$ (do $\widehat{EAC} = \widehat{HBC}$)

$\widehat{AIH} = \widehat{BIE}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta AHI \sim \Delta BEI$ (g-g)

$\Rightarrow \dfrac{AI}{BI} = \dfrac{HI}{EI}$

$\Rightarrow \dfrac{AI}{HI} = \dfrac{BI}{EI}$

Xét $\Delta ABI$ và $\Delta HEI$:

$\widehat{AIB} = \widehat{HIE}$ (đối đỉnh)

$\dfrac{AI}{HI} = \dfrac{BI}{EI}$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta ABI \sim \Delta HEI$ (c-g-c)

$\Rightarrow \dfrac{AB}{HE} = \dfrac{AI}{HI}$

$\Rightarrow AB \cdot HI = AI \cdot HE$

Vậy $AB \cdot HI = AI \cdot HE$.