a)

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$, đường cao $HM$:

$AM \cdot AB = AH^2$ (hệ thức lượng) (1)

Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H$, đường cao $HN$:

$AN \cdot AC = AH^2$ (hệ thức lượng) (2)

Từ (1), (2) $\Rightarrow AM \cdot AB = AN \cdot AC = AH^2$ (đpcm).

b)

Tứ giác $AMHN$ là hình chữ nhật (có 3 góc vuông).

$\Rightarrow \widehat{AMN} = \widehat{AHN}$ (tính chất hình chữ nhật).

Ta có: $\widehat{AHN} = \widehat{C}$ (cùng phụ $\widehat{HAC}$).

$\Rightarrow \widehat{AMN} = \widehat{C}$.

Mà $K, M, N$ thẳng hàng và $A, M, B$ thẳng hàng $\Rightarrow \widehat{AMN} = \widehat{KMB}$ (đối đỉnh).

$\Rightarrow \widehat{KMB} = \widehat{C}$ (hay $\widehat{KCN}$).

Xét $\Delta KMB$ và $\Delta KCN$:

$\widehat{K}$ chung

$\widehat{KMB} = \widehat{KCN}$

$\Rightarrow \Delta KMB \backsim \Delta KCN$ (g.g)

$\Rightarrow \dfrac{KM}{KC} = \dfrac{KB}{KN} \Rightarrow KM \cdot KN = KB \cdot KC$ (*)

Ta có: $\widehat{AHB} = 90^\circ$, $HM \perp AB \Rightarrow \widehat{MHB} = \widehat{MAH}$ (cùng phụ $\widehat{MHA}$).

Vì $K, B, C$ thẳng hàng $\Rightarrow \widehat{KHM} = \widehat{MHB} \Rightarrow \widehat{KHM} = \widehat{MAH}$.

Gọi $I$ là giao điểm $AH$ và $MN \Rightarrow I$ là trung điểm $AH$ và $MN$.

$\Rightarrow IN = IH \Rightarrow \Delta INH$ cân tại $I \Rightarrow \widehat{INH} = \widehat{IHN}$.

Lại có $AM \parallel HN$ (cạnh đối hình chữ nhật) $\Rightarrow \widehat{IHN} = \widehat{MAH}$ (so le trong).

$\Rightarrow \widehat{INH} = \widehat{MAH}$.

$\Rightarrow \widehat{KHM} = \widehat{INH}$ (hay $\widehat{KNH}$).

Xét $\Delta KHM$ và $\Delta KNH$:

$\widehat{K}$ chung

$\widehat{KHM} = \widehat{KNH}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow \Delta KHM \backsim \Delta KNH$ (g.g)

$\Rightarrow \dfrac{KH}{KN} = \dfrac{KM}{KH} \Rightarrow KH^2 = KM \cdot KN$ (**)

Từ (*) và (**) $\Rightarrow BK \cdot CK = KH^2$ (đpcm).

c)

$AMHN$ là hình chữ nhật $\Rightarrow \widehat{ANM} = \widehat{AHM} = \widehat{B}$ (cùng phụ $\widehat{BAH}$).

$\Delta ABC$ vuông tại $A$ có trung tuyến $AO \Rightarrow OA = OC \Rightarrow \Delta OAC$ cân tại $O \Rightarrow \widehat{OAC} = \widehat{C}$.

Ta có: $\widehat{ANM} + \widehat{OAC} = \widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ \Rightarrow AO \perp MN$ hay $AO \perp KI$.

Xét $\Delta AKO$ có:

$AH \perp KO$ (do $AH \perp BC$) $\Rightarrow AI$ là đường cao.

$AO \perp KI \Rightarrow KI$ là đường cao.

$AI \cap KI = I \Rightarrow I$ là trực tâm $\Delta AKO$.

$\Rightarrow OI$ là đường cao thứ ba $\Rightarrow OI \perp AK$ (đpcm).

d)

$\Delta ABC$ vuông tại $A$, trung tuyến $AO \Rightarrow BC = 2OA$.

Áp dụng hệ thức lượng và định lí Pytago:

$AH \cdot BC = AB \cdot AC \Rightarrow 2AH \cdot OA = AB \cdot AC$

$BC^2 = AB^2 + AC^2 \Rightarrow 4OA^2 = AB^2 + AC^2$

Theo giả thiết:

$\dfrac{AH}{OA} = \dfrac{40}{41} \Leftrightarrow \dfrac{2AH \cdot OA}{2OA^2} = \dfrac{40}{41}$

$\Leftrightarrow \dfrac{AB \cdot AC}{\frac{AB^2+AC^2}{2}} = \dfrac{40}{41} \Leftrightarrow \dfrac{2AB \cdot AC}{AB^2 + AC^2} = \dfrac{40}{41}$

Chia cả tử và mẫu cho $AC^2$:

$\dfrac{2 \cdot \frac{AB}{AC}}{\left(\frac{AB}{AC}\right)^2 + 1} = \dfrac{40}{41}$

Đặt $x = \dfrac{AB}{AC}$ (ĐK: $0 < x < 1$ do $AB < AC$):

$\dfrac{2x}{x^2+1} = \dfrac{40}{41}$

$\Leftrightarrow 40x^2 - 82x + 40 = 0$

$\Leftrightarrow 20x^2 - 41x + 20 = 0$

$\Leftrightarrow (4x-5)(5x-4) = 0$

$\Rightarrow x = \dfrac{5}{4}$ (loại) hoặc $x = \dfrac{4}{5}$ (nhận).

Vậy $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{4}{5}$.