Xét $\Delta AHB$ vuông tại $H$, đường cao $HE$:

$BH^2 = BE \cdot AB \Rightarrow BE = \frac{BH^2}{AB}$

Xét $\Delta AHC$ vuông tại $H$, đường cao $HF$:

$CH^2 = CF \cdot AC \Rightarrow CF = \frac{CH^2}{AC}$

$BE \cdot CF \cdot BC = \frac{BH^2}{AB} \cdot \frac{CH^2}{AC} \cdot BC = \frac{(BH \cdot CH)^2 \cdot BC}{AB \cdot AC}$

Ta có: $BH \cdot CH = AH^2$ ( ý 1)

Ta có: $AB \cdot AC = AH \cdot BC$ (cùng bằng 2 lần dt $\Delta ABC$)

$BE \cdot CF \cdot BC = \frac{(AH^2)^2 \cdot BC}{AH \cdot BC} = \frac{AH^4 \cdot BC}{AH \cdot BC}$

$BE \cdot CF \cdot BC = AH^3 \text{ (đpcm)}$