Ta có $BE, CF$ là đường cao $\Rightarrow \widehat{BFC} = \widehat{BEC} = 90^\circ$.

$\Rightarrow BCEF$ là tứ giác nội tiếp.

$\Rightarrow \widehat{AEF} = \widehat{ABC}$ (cùng bù với $\widehat{CEF}$).

Xét $\triangle AEF$ và $\triangle ABC$:

$\widehat{A}$ chung

$\widehat{AEF} = \widehat{ABC}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle AEF \sim \triangle ABC$ (g-g).

$\Rightarrow \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{EF}{BC}$.

Lại có $K, M$ là trung điểm $EF, BC$ nên $EF = 2EK, BC = 2BM$.

$\Rightarrow \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{EK}{BM}$.

Xét $\triangle AEK$ và $\triangle ABM$:

$\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{EK}{BM}$ (cmt)

$\widehat{AEK} = \widehat{ABM}$ (do $\widehat{AEF} = \widehat{ABC}$)

$\Rightarrow \triangle AEK \sim \triangle ABM$ (c-g-c).

$\Rightarrow \widehat{EAK} = \widehat{BAM}$ (hai góc tương ứng).

Ta có: $\widehat{BAI} = \widehat{BAC} - \widehat{CAK}$.

Mà $\widehat{CAK} = \widehat{EAK} = \widehat{BAM}$ (do $E \in AC, I \in AK$).

$\Rightarrow \widehat{BAI} = \widehat{BAC} - \widehat{BAM} = \widehat{MAC}$.

Xét $(O)$ có $\widehat{AIB} = \widehat{ACB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AB$).

$\Rightarrow \widehat{AIB} = \widehat{ACM}$ (do $M \in BC$).

Xét $\triangle ABI$ và $\triangle AMC$:

$\widehat{BAI} = \widehat{MAC}$ (cmt)

$\widehat{AIB} = \widehat{ACM}$ (cmt)

Vậy $\triangle ABI \sim \triangle AMC$ (g-g).