Ta có:

$f(0) = c$

$f(1) = a + b + c$

$f(2) = 4a + 2b + c$

Theo đề bài $f(0), f(1), f(2) \in \mathbb{Z}$ nên: $c \in \mathbb{Z}$

$a + b + c \in \mathbb{Z} \Rightarrow a + b \in \mathbb{Z}$ (vì $c \in \mathbb{Z}$) $\Rightarrow 2a + 2b \in \mathbb{Z}$

$4a + 2b + c \in \mathbb{Z} \Rightarrow 4a + 2b \in \mathbb{Z}$ (vì $c \in \mathbb{Z}$)

Xét hiệu:

$(4a + 2b) - (2a + 2b) = 2a$

Vì $4a + 2b \in \mathbb{Z}$ và $2a + 2b \in \mathbb{Z} \Rightarrow 2a \in \mathbb{Z}$

Lại có $2a + 2b \in \mathbb{Z}$ và $2a \in \mathbb{Z} \Rightarrow 2b \in \mathbb{Z}$

Vậy $2a, 2b$ và $c$ là các số nguyên (đpcm).