`a)` Xét $\triangle OAC$:

$OA = CA \Rightarrow \triangle OAC$ cân tại $A \Rightarrow \widehat{AOC} = \widehat{ACO}$

$\widehat{OAP}$ là góc ngoài tại đỉnh $A$ của $\triangle OAC$:

$\Rightarrow \widehat{OAP} = \widehat{AOC} + \widehat{ACO} = 2\widehat{AOC}$

$\Rightarrow \widehat{AOC} = \dfrac{1}{2}\widehat{OAP}$

$\triangle OBD$ cân tại $B$:

$\widehat{OBP} = 2\widehat{BOD}$

$\Rightarrow \widehat{BOD} = \dfrac{1}{2}\widehat{OBP}$

Xét tứ giác $OAPB$ có:

$\widehat{AOB} = \widehat{APB} = 90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{OAP} + \widehat{OBP} = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ$

Ta có: $\widehat{COD} = \widehat{COA} + \widehat{AOB} + \widehat{BOD} = \dfrac{1}{2}\widehat{OAP} + 90^\circ + \dfrac{1}{2}\widehat{OBP}$

$\Rightarrow \widehat{COD} = \frac{1}{2}(\widehat{OAP} + \widehat{OBP}) + 90^\circ = \dfrac{1}{2}(180^\circ) + 90^\circ = 180^\circ$

Vậy $C, O, D$ thẳng hàng

`b)` $\triangle OCD$ vuông tại $O$ ($O \in CD$)

$M$ là trung điểm $CD$

$\Rightarrow MO = MC = MD$

Xét $\triangle MAO$ và $\triangle MAC$:

$\begin{cases} AO = AC \text{ (gt)} \\ AM \text{ chung} \\ MO = MC \text{ (cmt)} \end{cases} \Rightarrow \triangle MAO = \triangle MAC \text{ (c-c-c)} \Rightarrow \widehat{MAO} = \widehat{MAC}$

Xét $\triangle MBO$ và $\triangle MBD$:

$\begin{cases} BO = BD \text{ (gt)} \\ BM \text{ chung} \\ MO = MD \text{ (cmt)} \end{cases} \Rightarrow \triangle MBO = \triangle MBD \text{ (c-c-c)} \Rightarrow \widehat{MBO} = \widehat{MBD}$

Theo câu `a,` tứ giác $OAPB$ có:

$\widehat{AOB} = \widehat{APB} = 90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{OAP} + \widehat{OBP} = 180^\circ$

Mà $C, A, P$ thẳng hàng và $D, B, P$ thẳng hàng, nên:

$\widehat{OAC} + \widehat{OBD} = (180^\circ - \widehat{OAP}) + (180^\circ - \widehat{OBP}) = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$

Từ các cặp tam giác bằng nhau:

$\begin{cases} \widehat{OAC} = 2\widehat{MAO} \\ \widehat{OBD} = 2\widehat{MBO} \end{cases} \Rightarrow 2(\widehat{MAO} + \widehat{MBO}) = 180^\circ \Rightarrow \widehat{MAO} + \widehat{MBO} = 90^\circ$

Xét $\triangle AMB$ có:

$\widehat{MAB} + \widehat{MBA} = \widehat{MAO} + \widehat{MBO} = 90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{AMB} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ (đpcm)