`a)`

Xét `triangleABC` có:

`AD` là đường cao nên `ADbotBC=>hat{HDC}=90^o`

`BE` là đường cao nên `BEbotAC=>hat{HEC}=90^o`

Xét tứ giác `DHEC` có:

`hat{HDC}+hat{HEC}=90^o + 90^o=180^o`

Do đó, `DHEC` là tứ giác nội tiếp.

`b)`

Vì `AM` là đường kính nên `hat{ABM}=90^o`; `hat{ACM}=90^o` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Mà `{(BHbotAC),(MCbotAC):}=>BH////MC`

      `{(CHbotAB),(MBbotAB):}=>CH////MB`

`=> BHCM` là hình bình hành.

Trong hình bình hành `BHCM`, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà `OIbotBC` tại `I` nên theo tính chất đường kính và dây cung, `I` là trung điểm của `BC`

`=> I` là trung điểm của `HM`

Ta có `I` là trung điểm của `BC=>BI=CI=(BC)/2=(Rsqrt3)/2`

Áp dụng định lý Pythagore vào `triangleCIO` vuông tại `I` có:

`OC^2=OI^2+CI^2`

`R^2=OI^2+((Rsqrt3)/2)^2`

`OI^2=R^2/4`

`OI=R/2`

Xét `(O)` có `hat{ACB}=hat{AFB}` (cùng chắn cung `AB`)

Lại có tứ giác `DHEC` nội tiếp.

`=> hat{DCE}+hat{DHE}=180^o` (Tổng `2` góc đối của tứ giác nội tiếp)

Lại có `hat{DHE}+hat{EHA}=180^o` (`2` góc kề bù)

`=> hat{DCE}=hat{EHA}` hay `hat{ACB}=hat{AHF}`

`=> hat{AFB}=hat{AHF}`

`=> triangleAHF` cân tại `A`

`=> AH=AF`

Xét `triangleAHM` có `O` là trung điểm của `AM` và `I` là trung điểm của `HM`

`=> OI` là đường trung bình của `triangleAHM`

`=> AH=2.OI=2.R/2=R`

Mà `AH=AF` nên `AF=R`

$\color{#FF2E8A}{♡^♡}
\color{#FF3B94}{𝕻}
\color{#FF4FA3}{𝖍}
\color{#FF61AE}{𝖚}
\color{#FF73B6}{𝖔}
\color{#FF85BF}{𝖓}
\color{#FF97C8}{𝖌}
\color{#FFA9D1}{𝖌} \ 
\color{#FFB9D9}{𝕷}
\color{#FFC9E1}{𝖎}
\color{#FFD6E8}{𝖓}
\color{#FFE3EF}{𝖍}
\color{#FFF0F6}{𝖍}
\color{#FF2E8A}{♡^♡}$