Rút gọn giá trị của $P$:

$\sqrt[3]{20 +14\sqrt{2}} = \sqrt[3]{(2 + \sqrt{2})^3} = 2 + \sqrt{2}$

$\sqrt{12 + 2\sqrt{11}} = \sqrt{(\sqrt{11} + 1)^2} = \sqrt{11} + 1$

$\Rightarrow P = (2 + \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2}) + (\sqrt{11} + 1) - (\sqrt{11} - 1)$

$\Rightarrow P = 4 + 2 = 6$

Thay $P = 6$ vào biểu thức $M$:

$M = \frac{(6-4)^{2026} + 6^2 + 6 + 1}{6^2 - 5} - \sqrt[6]{\frac{6^{10} - 1024}{6^5 + 32}} $

Cụm phân số đầu:

$ \frac{2^{2026} + 36 + 6 + 1}{36 - 5} = \frac{2^{2026} + 43}{31} $

Cụm căn thức:

$\sqrt[6]{\frac{P^{10} - 1024}{P^5 + 32}} = \sqrt[6]{\frac{(P^5 - 32)(P^5 + 32)}{P^5 + 32}} = \sqrt[6]{P^5 - 32} $

Thay $P = 6$:

$\sqrt[6]{6^5 - 32} = \sqrt[6]{7776 - 32} = \sqrt[6]{7744} $

Vì $7744 = 88^2$ nên:

$ \sqrt[6]{7744} = \sqrt[6]{88^2} = 88^{2/6} = 88^{1/3} = \sqrt[3]{88} $

Vậy: $ M = \frac{2^{2026} + 43}{31} - \sqrt[3]{88} $