`a)` Xét $\triangle BDC$ và $\triangle HBC$ có:

$\widehat{BCD}$ là góc chung

$\widehat{DBC} = \widehat{BHC} = 90^\circ$ (do $BD \perp BC$ và $BH$ là đường cao)

`=>` $\triangle BDC \sim \triangle HBC$ `(g-g)`

`b)` Từ $\triangle BDC \sim \triangle HBC$ (cmt), ta có tỉ số đồng dạng:

$\dfrac{BC}{HC} = \dfrac{DC}{BC}$ `=>` $BC^2 = HC \cdot DC \text{ (đpcm)}$

`c)` Vì $ABCD$ là hình thang cân ($AB // CD$) nên:

$AD = BC$ (hai cạnh bên)

$\widehat{D} = \widehat{C}$ (hai góc ở đáy)

Xét hai tam giác vuông $AKD$ và $BHC$:

$\widehat{AKD} = \widehat{BHC} = 90^\circ$

$AD = BC$ (cmt).

$\widehat{D} = \widehat{C}$ (cmt)

`=>` $\triangle AKD = \triangle BHC$ (cạnh huyền `-` góc nhọn)

`=>` $\triangle AKD \sim \triangle BHC$ (tỉ số đồng dạng bằng `1`)

`d)` Trong hình thang cân có hai đường cao hạ từ đáy nhỏ, ta có công thức:

$HC = \dfrac{DC - AB}{2} = \dfrac{25 - 15}{2} = 5cm$

Độ dài đoạn $HD$ là:

$HD = DC - HC = 25 - 5 = 20cm$