Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a) CM : Tứ giác BCEF nội tiếp

`BE ⊥ AB` suy ra `ΔBEC` vuông tại `E`

Do đó 3 điểm `B,E,C` cùng `∈` đg tròn đg kính `BC`

`CF ⊥ AC` suy ra `ΔBFC` vuông tại `F` 

Do đó `3` điểm `B, F, C,` cùng `∈` đg tròn đg kính `BC`

Suy ra `4` điểm `B,C,E,F` cùng `∈ 1` đg tròn do đó tứ giác `BCEF` nội tiếp.

b) CM : AH  = 2OI và Q là trung điểm MN.

Vẽ đường kính `AG` của `(O) ` , Gọi `D` là giao điểm của `AQ` và `BC`
`\hat{ABG} = 90^0` ( góc chắn đường kính `AG`) suy ra `AB ⊥ BG`

Mà `CF ⊥ AB` do đó `BG` // `CF` hay `CH` // `CF`

`\hat{ACG} = 90^0` (góc chắn đg kính `AG`) suy ra `AC ⊥ CG`

Mà `BE ⊥ AC` do đó `CG` // `BE` hay `BH` // `CG`

Suy ra tứ giác `BHCG` là hình bình hành ( 2 cặp cạnh đối //)

`I` là trung điểm đường chéo `BC` suy ra `I` là trung điểm `HG`

Xét `ΔAHG` có `I,O` là trung điểm `HG, AG` do đó `IO` là đg trung bình `ΔAHG`

Do đó `OI`// `AH` và  `AH = 2IO`

+ Từ `H` kẻ `JK ⊥ HI` suy ra `JK` // `MN `

+ `\hat{JAH} = \hat{BAD} = \hat{HCI} =\hat{FCB}` ( cùng phụ `\hat{ABC}`)

+ `\hat{AHJ} = \hat{DHK}` (đối đỉnh)

`\hat{DHK} = \hat{KHI} + \hat{IHD} = 90^0 + \hat{IHD}`

Mà `\hat{IHD} = \hat{HIO}` ( so le trong)

Do đó `\hat{AHJ}  =90^0 + \hat{HIO}`

Lại có `\hat{CIH} = \hat{CIO} + \hat{HIO} = 90^0 + \hat{HIO}`

Suy ra `\hat{AHJ} = \hat{CIO}`

Xét `ΔAHJ` và `ΔCIH` có

`\hat{JAH} = \hat{HCI} (cmt) ; \hat{AHJ} = \hat{CIO} (cmt)`

Suy ra `ΔAHJ` đồng dạng `ΔCIH ( g.g)`

Do đó `(AH)/(CI) = (HJ)/(HI) ⇒ HJ = (AH.HI)/(CI)`

+ `CM` tương tự `ΔBHI` đồng dạng `ΔAKH`

Suy ra `(HI)/(HK) = (BI)/(AH) ⇒ (HK) = (HI.AH)/(BI)`

Suy ra `(HJ)/(HK) = (AH.HI.BI)/(AH.HI.CI) = 1`

Do đó `HJ = HK`

Mà `JK`// `MN` nên `(HJ)/(QM) = (AH)/(HQ) = (HK)/(QN)`

Suy ra `QM = QN` do đó `Q` là trung điểm `MN`