Đáp án+Giải thích các bước giải:

`8,`

Trên tia đối của tia \(MA\), lấy điểm \(D\) sao cho \(MD = MA\).

Khi đó \(AM = \frac{1}{2}AD\) hay \(AD = 2AM\).

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta DCM\) có:

\(AM = DM\)

\(\widehat{AMB} = \widehat{DMC}\) (đối đỉnh)

\(BM = CM\)

\(\Rightarrow \Delta ABM = \Delta DCM\) (c-g-c)

\(\Rightarrow AB = CD\).

Trong tam giác \(ACD\), theo bất đẳng thức tam giác, ta có: \(AC + CD > AD\).

Thay \(CD = AB\) và \(AD = 2AM\) vào, ta được:

\(AC + AB > 2AM\) (đpcm).

`9,` 

\(\frac{a+b}{ab} = \frac{b+c}{bc} = \frac{c+a}{ca}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{1}{c} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}\).

Từ \(\frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{1}{c} + \frac{1}{b}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{a} = \frac{1}{c}\)

\(\Rightarrow a = c\).

Từ \(\frac{1}{c} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{b} = \frac{1}{a}\)

\(\Rightarrow b = a\)

\(\Rightarrow a = b = c\).

Thay \(a = b = c\) vào \(M\) ta có:

\(M = \frac{a^2 + a^2 + a^2}{a^2 + a^2 + a^2} = \frac{3a^2}{3a^2} = 1\).

Vậy \(M = 1\).