Bài 3:

a.Xét $\Delta AHB,\Delta ABC$ có:

Chung $ \hat B$

$\widehat{AHB}=\widehat{BAC}(=90^o)$

$\to \Delta ABC\sim\Delta HBA(g.g)$

Xét $\Delta AHC,\Delta ABC$ có:

Chung $\hat C$

$\widehat{AHC}=\widehat{CAB}(=90^o)$

$\to \Delta HAC\sim\Delta ABC(g.g)$

$\to \Delta HBA\sim\Delta HAC(\sim\Delta ABC)$

b.Xét $\Delta AIH,\Delta AHB$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AIH}=\widehat{AHB}(=90^o)$

$\to \Delta AIH\sim\Delta AHB(g.g)$

$\to \dfrac{AI}{AH}=\dfrac{AH}{AB}$

$\to AI.AB=AH^2$

Tương tự: $AK.AC=AH^2$

$\to AI.AB=AK.AC$

Bài 4:

$\begin{aligned}
& \text{Vì } a, b, c \text{ là độ dài ba cạnh của một tam giác, nên } a, b, c > 0. \\
& \text{Theo bất đẳng thức tam giác, ta luôn có:} \\
& \begin{cases}
a < b + c \\
b < a + c \\
c < a + b
\end{cases} \\
& \text{Do } a, b, c \text{ đều là các số dương, ta nhân hai vế của mỗi bất đẳng thức lần lượt với } a, b, c \text{ ta được:} \\
& \begin{cases}
a \cdot a < a(b + c) \\
b \cdot b < b(a + c) \\
c \cdot c < c(a + b)
\end{cases} \\
& \Rightarrow \begin{cases}
a^2 < ab + ac \quad (1) \\
b^2 < ab + bc \quad (2) \\
c^2 < ac + bc \quad (3)
\end{cases} \\
& \text{Cộng vế theo vế các bất đẳng thức } (1), (2) \text{ và } (3), \text{ ta có:} \\
& a^2 + b^2 + c^2 < (ab + ac) + (ab + bc) + (ac + bc) \\
& \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 < 2ab + 2bc + 2ca \\
& \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc + ca) \\
\end{aligned}$