Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

`\frac{1}{xy+yz} + \frac{1}{yz+zx} + \frac{1}{zx+xy} \geq \frac{(1+1+1)^2}{xy+yz+yz+zx+zx+xy} = \frac{9}{2(xy+yz+zx)}`

Ta cần chứng minh:

`\frac{9}{2(xy+yz+zx)} \geq \frac{9}{4+2xyz}``\Leftrightarrow 4 + 2xyz \geq 2(xy+yz+zx)``\Leftrightarrow 2 + xyz \geq xy+yz+zx`

Theo nguyên lý Dirichlet, trong ba số $(x-1), (y-1), (z-1)$ luôn tồn tại ít nhất hai số cùng dấu. Không mất tính tổng quát, giả sử:

$(y-1)(z-1) \geq 0 \Leftrightarrow yz - y - z + 1 \geq 0 \Leftrightarrow yz \geq y + z - 1$

$\Rightarrow xyz \geq x(y+z-1) = xy + xz - x$

Ta lại có:

$2 + xyz \geq 2 + xy + xz - x$

Ta chứng minh:

$2+xy+xz-x \geq xy+yz+zx \Leftrightarrow 2-x \geq yz$

$\Leftrightarrow x(2-x) \geq xyz \text{ (do } x, y, z > 0)$

Theo giả thiết $y^2+z^2 = 3-x^2$ và AM-GM:

`xyz \leq x \cdot \frac{y^2+z^2}{2} = \frac{x(3-x^2)}{2}`, ta có:

`x(2-x) \geq \frac{x(3-x^2)}{2} \Leftrightarrow 4-2x \geq 3-x^2 \Leftrightarrow (x-1)^2 \geq 0 \text{ (luôn đúng)}`

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z=1$

Vậy `\frac{1}{xy+yz} + \frac{1}{yz+zx} + \frac{1}{zx+xy} \geq \frac{9}{4+2xyz}` `\text{(đpcm).}`