$\frac{4}{x} + \frac{y}{5} = \frac{1}{10}$

$\frac{4 \cdot 5}{5x} + \frac{y \cdot x}{5x} = \frac{1}{10}$

$\frac{20 + xy}{5x} = \frac{1}{10}$

$10 \cdot (20 + xy) = 5x \cdot 1$

$200 + 10xy = 5x$

$40 + 2xy = x$

$x - 2xy = 40$

$x(1 - 2y) = 40$

Trường hợp 1:

$1 - 2y = 1$$\Rightarrow 2y = 0 \Rightarrow y = 0$

Khi đó $x \cdot 1 = 40 \Rightarrow x = 40$ (Thỏa mãn)

Trường hợp 2:

$1 - 2y = -1$

$\Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1$

Khi đó $x \cdot (-1) = 40 \Rightarrow x = -40$ (Thỏa mãn)

Trường hợp 3:

$1 - 2y = 5$

$\Rightarrow 2y = -4 \Rightarrow y = -2$

Khi đó $x \cdot 5 = 40 \Rightarrow x = 8$ (Thỏa mãn)

Trường hợp 4:

$1 - 2y = -5$

$\Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$

Khi đó $x \cdot (-5) = 40 \Rightarrow x = -8$ (Thỏa mãn)

Vậy các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn là: $(40; 0), (-40; 1), (8; -2), (-8; 3)$