Gọi `A(-64;128;64)` là vị trí ra đa. Vùng phát hiện là mặt cầu
`=>S:(x+64)^2+(y-128)^2+(z-64)^2=500^2`
Hai máy bay `M,N` nằm trên đường thẳng có vectơ chỉ phương
`=>vec(u)=(1;1;1)`
và `M\in(P)` với
`(P):x-2y+2z-145=0`
Gọi`M(x;y;z)\in(P)`
`=>x-2y+2z-145=0 (1)`
`=>vec(AM)=(x+64;y-128;z-64)`
Gọi khoảng cách từ điểm `A` đến đường thẳng qua `M` có vectơ chỉ phương `vec(u)` là `d`:
`=>d=(||vec(AM)xxvec(u)||)/(|vec(u)|)`

Với`:{(vec(u)=(1;1;1)),(|vec(u)|=sqrt3):}`
`=>vec(AM)xx(1;1;1)=` $\left[\begin{array}{ccc} \vec i & \vec j & \vec k\\ x+64 & y-128 & z-64\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right]$

`=(y-z-64)vec(i)+(z-x-128)vec(j)+(x-y+192)vec(k)`
`=>||vec(AM)xxvec(u)||^2`
`=(y-z-64)^2+(z-x-128)^2+(x-y+192)^2`
`=>d^2=((y-z-64)^2+(z-x-128)^2+(x-y+192)^2)/3`
Từ `(1)`:
`=>x=145+2y-2z`
Thay vào biểu thức `d^2`:
`=>d^2=((y-z-64)^2+(3z-2y-273)^2+(y-3z+337)^2)/3`
Xét hàm hai biến `d^2(y;z)`
`=>`\begin{cases} \dfrac{\partial f}{\partial y}=0\\ \dfrac{\partial f}{\partial z}=0 \end{cases}
Giải hệ thu được
`=>d_(min)^2=800/3`
`=>d_(min)=sqrt(800/3)≈16,33 km`
Nếu đường thẳng cách tâm mặt cầu một khoảng `d` thì độ dài dây cắt mặt cầu là `:`
`=>MN=2sqrt(R^2-d^2)`
với `R=500`
`=>MN_(max)=2sqrt(500^2-800/3)`
`≈999,47 km`
`=>MN_(max)~~999 km`
Vậy khoảng cách lớn nhất giữa hai máy bay là `999km`