Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên:

$BC^2 = BA^2 + AC^2$ ( Pythagoras )

Theo đề bài: $BM \cdot BA + CM \cdot CN = BC^2$

Thay giá trị $BC^2$ ở trên vào, ta có:

$BM \cdot BA + CM \cdot CN = BA^2 + AC^2$

$BM \cdot BA - BA^2 = AC^2 - CM \cdot CN$

$\Rightarrow BA(BM - BA) = (AC - CN)(AC + CN)$

vì $M$ nằm giữa $A$ và $C$ nên:

$BM - BA = AM$

Vì $N$ nằm trên tia đối của $MC$:

$AC−CN=CM$

$BA \cdot AM = AC \cdot CM$

$\Rightarrow \frac{BA}{AC} = \frac{CM}{AM}$

$\Delta ABM \sim \Delta ACN $

$\Rightarrow BN \perp AC$

Mà $M, C, N$ thẳng hàng nên:

$\mathbf{BN \perp CM}$ (đpcm).