a) Sai

Ta có: $f'(x) = (e^x)' - (\cos x)' = e^x - (-\sin x) = e^x + \sin x$.

b) Sai

Thay $x=0$: $f(0) = e^0 - \cos 0 = 1 - 1 = 0$.

c) Sai

Xét trên $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$:

$e^x > 0$ và $\sin x \ge 0 \Rightarrow f'(x) = e^x + \sin x > 0$.

Hàm số đồng biến trên $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$.

$\Rightarrow \min y = f(0) = 0$.

d) Sai

Ta có phương trình: $f'(x) - e^x = \cos^2 x$

$\Leftrightarrow e^x + \sin x - e^x = 1 - \sin^2 x$

$\Leftrightarrow \sin^2 x + \sin x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \sin x = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ (nhận) hoặc $\sin x = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ (loại vì $< -1$).

Đặt $a = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$, vì $0 < a < 1$ nên trên đoạn $[-\pi; \pi]$, phương trình $\sin x = a$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2 \in (0; \pi)$.

Theo tính chất đối xứng: $x_1 + x_2 = \pi$.

Tổng các nghiệm là $\pi$.