`2)`

Tam giác đều `ABC` có cạnh `a=16 \ dm`

Chiều cao của tam giác đều là:

`h=(asqrt3)/2=(16sqrt3)/2=8sqrt3 \ (dm)`

Gọi `x,y` lần lượt là chiều cao và chiều dài của hình chữ nhật `(0<x<h)`

Vì `QP////BC`, theo định lý Thales, `triangleAQP` $\backsim$ `triangleABC`

`=>(h-x)/h=(QP)/(BC)=y/a`

`=>y=(a(h-x))/h=a(1-x/h)`

`S_(MNPQ)=x.y=x.a(1-x/h)=a(x-x^2/h) \ (dm^2)`

Ta có: `S=ah.[x/h(1-x/h)]`

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

`x/h . (1-x/h)le((x/h+1-x/h)/2)^2=(1/2)^2=1/4`

`=> S_(max)=ah . 1/4=(ah)/4=(16 . 8sqrt3)/4=32sqrt3 \ (dm^2)`

Dấu "=" xảy ra khi `x/h=1-x/h<=>x=h/2` (chiều cao của hình chữ nhật bằng một nửa chiều cao của tam giác)

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật `MNPQ` là `32sqrt3 \ dm^2`