`a)` Chứng minh $2a + bc \leq 4$

Từ giả thiết $3(a^2 + b^2 + c^2) + 2abc = 12$, suy ra $3a^2 \leq 12 \Rightarrow a \leq 2$.

Ta có $b^2 + c^2 \geq 2bc$, thay vào giả thiết:

$12 \geq 3a^2 + 6bc + 2abc = 3a^2 + 2bc(3 + a)$.

Suy ra $2bc \leq \dfrac{12 - 3a^2}{3 + a} = 3(2 - a)$.

Do đó: $2a + bc \leq 2a + \dfrac{3(2 - a)}{2} = \dfrac{a + 6}{2}$.

Vì $a \leq 2$ nên $\dfrac{a + 6}{2} \leq \dfrac{2 + 6}{2} = 4$. (đpcm)

`b)` Tìm Max và Min của $P = 4a + 4b + c$

Min $P = 2$: Khi $a = 0, b = 0, c = 2$.

Max $P = 8\sqrt{2}$: Khi $a = \sqrt{2}, b = \sqrt{2}, c = 0$.