Ta có 
`(x+y)(x^2+y^2) = x^3 + x^2y + xy^2 + y^3`
Khi đó hệ phương trình trở thành
`1.a^3 + a^2b + ab^2 + b^3 = c^3 + c^2d + cd^2 + d^3`
`2.a^3 + a^2c + ac^2 + c^3 = b^3 + b^2d + bd^2 + d^3`
`3.a^3 + a^2d + ad^2 + d^3 = b^3 + b^2c + bc^2 + c^3`
Lấy `1` trừ `2` ta có
`(a^2b + ab^2 + b^3) - (a^2c + ac^2 + c^3) = (c^3 + c^2d + cd^2) - (b^3 + b^2d + bd^2)`
`a^2(b-c) + a(b^2-c^2) + 2(b^3-c^3) + d(c^2-b^2) + d^2(c-b) = 0`
`(b-c) [a^2 + a(b+c) + 2(b^2+bc+c^2) - d(b+c) - d^2] = 0`
Xét biểu thức `Q=a^2+ab+ac+2b^2+2bc+2c^2+db+dc+d^2`
Để chứng minh `b=c` ta có `Q>0` hoặc `Q ne 0`
`=>` `Q = \frac{1}{2} \le[ (a+b)^2 + (a+c)^2 + (b+c)^2 + (b+d)^2 + (c+d)^2 + b^2 + c^2 + d^2 \]`
Vì `a,b,c,d` là các số thực
`=>` tổng bình phương luôn `>=0`
`=0` khi tất cả đều `=0` hoặc `a=b=c=d=0`
Nếu `a,b,c,d` không `=0` thì `Q>0`
`=>b-c=0=>b=c`
Tương tự chứng mình lấy
Lấy `2` trừ `3` 
được `(c-d)=0` `=>c=d`
Lấy `1` trừ `3`
đươc `(b-d)=0=>b=d`
Ta có `b=c` và `c=d` và `b=d`
`=>` `(a+b)(a^2+b^2) = (b+b)(b^2+b^2)`
`=>(a+b)(a^2+b^2) = 2b \cdot 2b^2 = 4b^3`
`=>a^3 + a^2b + ab^2 + b^3 = 4b^3 \Leftrightarrow a^3 + a^2b + ab^2 - 3b^3 = 0`
 `=>(a-b)(a^2 + 2ab + 3b^2) = 0`
Vì `a^2+2ab+3b^2=0=(a+b)^2+2b^2>0` (Với `b ne 0`)
`=> a-b=0`
`=>` `a=b`
Vì `a=b` (cmt)
`c=d` (cmt)
`b=c` (cmt)
`b=d` (cmt)

`=> a=b=c=d` (đpcm)