$\mathbf{\mathit{\color{magenta}{Đáp}\ \color{hotpink}{án}}}$$\mathbf{\mathit{\color{hotpink}{+}}}$$\mathbf{\mathit{\color{magenta}{Giải\ thích}\ \color{hotpink}{các\ bước}\ \color{pink}{giải}}}$

Ta có: \(\Delta = [-(m-1)]^2 - 4(2m-6) = m^2 - 2m + 1 - 8m + 24 = m^2 - 10m + 25\)
\(\Delta = (m-5)^2\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta > 0 \Leftrightarrow (m-5)^2 > 0 \Leftrightarrow m \neq 5\).
Đồng thời, để biểu thức \(M\) tồn tại thì \(x_1x_2 \neq 0 \Leftrightarrow 2m - 6 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 3\).

Áp dụng hệ thức Vi-ét:
\(x_1 + x_2 = m - 1\)
\(x_1x_2 = 2m - 6\)

Biến đổi biểu thức M:
\(M = \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}\)
\(M = \frac{(m-1)^2 - 2(2m-6)}{2m-6} = \frac{m^2 - 2m + 1 - 4m + 12}{2m-6} = \frac{m^2 - 6m + 13}{2m-6}\)

Tìm m nguyên để M nguyên:
⇒Ta có: \(M = \frac{(m-3)^2 + 4}{2(m-3)} = \frac{m-3}{2} + \frac{2}{m-3}\)
Để \(M\) nhận giá trị nguyên thì:

→\((m-3)\) phải là ước của 4, bao gồm: \(\pm 1, \pm 2, \pm 4\).

→Đồng thời tổng hai phân số trên phải là một số nguyên.

Xét các trường hợp:

→Nếu \(m-3 = 2 \Rightarrow m = 5\) (Loại vì điều kiện \(m \neq 5\)).

→Nếu \(m-3 = -2 \Rightarrow m = 1\). Thay vào \(M = \frac{-2}{2} + \frac{2}{-2} = -2\) (Chọn).

→Nếu \(m-3 = 1 \Rightarrow m = 4\). Thay vào \(M = \frac{1}{2} + 2 = 2,5\) (Loại).

→Nếu \(m-3 = -1 \Rightarrow m = 2\). Thay vào \(M = \frac{-1}{2} - 2 = -2,5\) (Loại).

→Nếu \(m-3 = 4 \Rightarrow m = 7\). Thay vào \(M = \frac{4}{2} + \frac{2}{4} = 2,5\) (Loại).

→Nếu \(m-3 = -4 \Rightarrow m = -1\). Thay vào \(M = \frac{-4}{2} + \frac{2}{-4} = -2,5\) (Loại).

∠ Giá trị nguyên cần tìm là m = 1.

$\mathbf{\mathit{\color{cyan}{\#Mor}\color{dodgerblue}{nin}\color{blue}{g908}}}$