Giải thích các bước giải:

$\begin{align*}
&\text{Khi người thợ gấp tấm thép hình vuông cạnh } 30\text{ cm dọc theo } EF \text{ và } GH \text{ để hai mép } AD \\
&\text{và } BC \text{ chạm nhau, chi tiết máy tạo thành là một lăng trụ đứng có đáy là hình tam giác.} \\
&\text{Chiều cao của lăng trụ chính là độ dài cạnh hình vuông: } h = AD = 30 \text{ (cm).} \\
&\text{Đáy của lăng trụ là một tam giác cân tạo bởi 3 đoạn thẳng } AE, EG, GB \text{ gập lại với nhau.} \\
&\text{Theo giả thiết, ta có: } AE = x \text{ và } GB = x. \\
&\text{Do } AB = 30 \text{ nên độ dài đoạn ở giữa là: } EG = 30 - (AE + GB) = 30 - 2x \text{ (cm).} \\
&\text{Điều kiện để 3 đoạn thẳng này tạo thành một tam giác là tổng 2 cạnh phải lớn hơn cạnh thứ ba:} \\
&AE + GB > EG \Leftrightarrow x + x > 30 - 2x \Leftrightarrow 4x > 30 \Leftrightarrow x > 7,5. \\
&\text{Đồng thời chiều dài cạnh } EG \text{ phải dương nên: } 30 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < 15. \\
&\text{Vậy điều kiện của } x \text{ là: } 7,5 < x < 15. \\
&\text{Kẻ đường cao } h_t \text{ của tam giác đáy ứng với cạnh } EG. \text{ Áp dụng định lý Pytago, ta có:} \\
&h_t = \sqrt{x^2 - \left(\dfrac{EG}{2}\right)^2} = \sqrt{x^2 - \left(\dfrac{30 - 2x}{2}\right)^2} = \sqrt{x^2 - (15 - x)^2} \\
&h_t = \sqrt{x^2 - (225 - 30x + x^2)} = \sqrt{30x - 225}. \\
&\text{Diện tích đáy của hình lăng trụ là:} \\
&S_{đáy} = \dfrac{1}{2} \cdot EG \cdot h_t = \dfrac{1}{2} (30 - 2x) \sqrt{30x - 225} = (15 - x)\sqrt{30x - 225}. \\
&\text{Thể tích của lăng trụ đứng là:} \\
&V = S_{đáy} \cdot h = 30(15 - x)\sqrt{30x - 225} \quad (\text{cm}^3). \\
&\text{Để thể tích } V \text{ đạt giá trị lớn nhất thì biểu thức } V^2 \text{ cũng phải đạt giá trị lớn nhất. Ta xét:} \\
&V^2 = 900(15 - x)^2(30x - 225) = 13500(15 - x)^2(2x - 15) \\
&V^2 = 13500 \cdot (15 - x) \cdot (15 - x) \cdot (2x - 15). \\
&\text{Vì } 7,5 < x < 15 \text{ nên } (15 - x) > 0 \text{ và } (2x - 15) > 0. \\
&\text{Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương } (15 - x), (15 - x) \text{ và } (2x - 15)\text{, ta có:} \\
&(15 - x) \cdot (15 - x) \cdot (2x - 15) \le \left( \dfrac{(15 - x) + (15 - x) + (2x - 15)}{3} \right)^3 \\
&\Leftrightarrow (15 - x)^2(2x - 15) \le \left( \dfrac{15}{3} \right)^3 = 125. \\
&\text{Do đó } V^2 \le 13500 \cdot 125 = 1687500 \Rightarrow V \le \sqrt{1687500} = 750\sqrt{3}. \\
&\text{Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ba số bằng nhau:} \\
&15 - x = 2x - 15 \Leftrightarrow 3x = 30 \Leftrightarrow x = 10 \text{ (thỏa mãn điều kiện } 7,5 < x < 15\text{).} \\
&\text{Vậy người thợ cần chọn } x = 10 \text{ cm để chi tiết máy tạo thành có thể tích lớn nhất.}
\end{align*}$