Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 Chứng minh với $c=\dfrac{1}{4}$

Với $n=1⇒$ Bất đẳng thức luôn đúng 

Xét $n≥2:$

\(\text{Đặt}\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle S=\sum_{i=0}^{n}a_i\\[1mm]
\displaystyle Q=\sum_{i=0}^{n}a_i^2
\end{array}
\right.\)

Gọi $a_m=\text{max}\{a_0,a_1,...,a_n\}$

Xét $\left\{
\begin{array}{l}
a_m>a_0\\
a_m>a_n
\end{array}
\right.$

$⇒1≤m≤n-1$

$⇒(a_i)$ là dãy lõm rời rạc

Với $0≤i≤m:$

$a_i≥\dfrac{m-i}{m}a_0+\dfrac{i}{m}a_m≥\dfrac{i}{m}a_m$

$\Rightarrow\displaystyle\sum_{i=0}^{m}a_i \ge a_m\sum_{i=0}^{m}\frac{i}{m}$

$⇒\displaystyle\sum_{i=0}^{m}a_i \geq a_m\cdot\frac{m+1}{2}$   $(1)$

Tương tự với $m≤i≤n:$

$a_i≥\dfrac{n-i}{n-m}a_m+\dfrac{i-m}{n-m}a_n≥\dfrac{n-i}{n-m}a_m$

$\Rightarrow\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_i \ge
a_m\sum_{i=m}^{n}\frac{n-i}{\,n-m\,}$

$⇒\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_i \geq a_m·\dfrac{n-m+1}{2}$     $(2)$

$(1)+(2),\ a_m$ bị tính $2$ lần$:$

$⇒S+a_m≥a_m\left(\dfrac{m+1}{2}+\dfrac{n-m+1}{2}\right)$

$\Rightarrow S≥a_m\left(\dfrac{m+1}{2}+\dfrac{n-m+1}{2}-1\right)$

$⇒S≥\dfrac{n}{2}a_m$

$⇒a_m≤\dfrac{2S}{n}$      $(3)$

Mà $0<a_i≤a_m$

$⇒a^2_i≤a_ma_i$

$Q=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_i^2\le a_m\sum_{i=0}^{n}a_i=a_mS$

$(3)⇒Q≤\dfrac{2S^2}{n}$   $(4)$

Với $n≥2,$ ta có$:$

$\dfrac{2}{n}≤\dfrac{4}{n-1}$

$(4)⇒Q≤\dfrac{4S^2}{n-1}$

$⇒S^2≥\dfrac{1}{4}(n-1)Q$ 

$⇒\displaystyle \left(\sum_{i=0}^{n}a_i\right)^2\ge \frac14(n-1)\sum_{i=0}^{n}a_i^2$

$⇒$ Tồn tại hằng số $c=\dfrac{1}{4}$ thỏa ycbt