Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{a) Xét mệnh đề: } f'(x) = -\frac{3}{(x+1)^2}, \forall x \neq -1 \\
& \text{Ta có: } f'(x) = \left( \frac{3}{x+1} \right)' = 3 \cdot \frac{-(x+1)'}{(x+1)^2} = -\frac{3}{(x+1)^2} \quad (\forall x \neq -1). \\
& \Rightarrow \text{Mệnh đề a) Đúng.} \\[15pt]

& \text{b) Xét mệnh đề: } [g(x)]' = \frac{x^2+4x}{(x+2)^2}, \forall x \neq -2 \\
& \text{Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: } \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}. \\
& \text{Ta có: } g'(x) = \frac{(x^2)'(x+2) - x^2(x+2)'}{(x+2)^2} = \frac{2x(x+2) - x^2 \cdot 1}{(x+2)^2} \\
& g'(x) = \frac{2x^2 + 4x - x^2}{(x+2)^2} = \frac{x^2 + 4x}{(x+2)^2} \quad (\forall x \neq -2). \\
& \Rightarrow \text{Mệnh đề b) Đúng.} \\[15pt]

& \text{c) Xét mệnh đề: } [f(x) \cdot g(x)]' = f'(x) \cdot g'(x), \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{-1; -2\} \\
& \text{Theo quy tắc đạo hàm của một tích, công thức đúng phải là: } \\
& [f(x) \cdot g(x)]' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x). \\
& \text{Do đó, khẳng định } [f(x) \cdot g(x)]' = f'(x) \cdot g'(x) \text{ là sai.} \\
& \Rightarrow \text{Mệnh đề c) Sai.} \\[15pt]

& \text{d) Xét mệnh đề: } g'(1) = -1 \\
& \text{Từ kết quả của mệnh đề b, ta có: } g'(x) = \frac{x^2 + 4x}{(x+2)^2}. \\
& \text{Thay } x = 1 \text{ vào đạo hàm, ta được: } \\
& g'(1) = \frac{1^2 + 4 \cdot 1}{(1+2)^2} = \frac{1 + 4}{3^2} = \frac{5}{9}. \\
& \text{Vì } \frac{5}{9} \neq -1 \text{ nên khẳng định của đề bài là sai.} \\
& \Rightarrow \text{Mệnh đề d) Sai.}
\end{aligned}$