Gọi cạnh đáy của hình hộp chữ nhật là $x$ (dm) và chiều cao là $h$ (dm) với $x, h > 0$.

Thể tích của thùng là:
$V = x^2 \cdot h = 500 \Rightarrow h = \frac{500}{x^2}$

Diện tích vật liệu để làm thùng (không nắp) bao gồm diện tích đáy và diện tích 4 mặt xung quanh:
$S = S_{đáy} + S_{xq} = x^2 + 4xh$

Thay $h = \frac{500}{x^2}$ vào công thức trên, ta được:
$S = x^2 + 4x \cdot \frac{500}{x^2} = x^2 + \frac{2000}{x}$

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $S$, ta tách biểu thức thành ba số hạng để áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
$S = x^2 + \frac{1000}{x} + \frac{1000}{x}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương $x^2, \frac{1000}{x}, \frac{1000}{x}$:
$x^2 + \frac{1000}{x} + \frac{1000}{x} \ge 3 \cdot \sqrt[3]{x^2 \cdot \frac{1000}{x} \cdot \frac{1000}{x}}$
$S \ge 3 \cdot \sqrt[3]{1000000}$
$S \ge 3 \cdot 100 = 300$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
$x^2 = \frac{1000}{x} \Leftrightarrow x^3 = 1000 \Leftrightarrow x = 10$ (dm)

Vậy kích thước cạnh đáy của chiếc thùng để diện tích vật liệu đạt giá trị nhỏ nhất là $10$ dm.