Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Gọi } d_A: x - 2y = 0, \ d_B: x - 2 = 0, \ d_C: x + y - 3 = 0 \text{ lần lượt là các đường cao từ } A, B, C. \\
& \text{Vì } A \in d_A \text{ nên tọa độ đỉnh } A \text{ có dạng } A(2a; a). \\
& \text{Theo giả thiết, } x_A < 0 \Rightarrow 2a < 0 \Leftrightarrow a < 0. \\
& \text{Đường thẳng } BC \text{ vuông góc với } d_A \text{ nên } BC \text{ nhận vectơ chỉ phương của } d_A \text{ làm vectơ pháp tuyến.} \\
& \text{Đường thẳng } d_A \text{ có VTPT } \vec{n}_A = (1; -2) \Rightarrow \text{VTCP } \vec{u}_A = (2; 1). \\
& \Rightarrow \text{VTPT của } BC \text{ là } \vec{n}_{BC} = (2; 1). \\
& \text{Phương trình đường thẳng } BC \text{ có dạng: } 2x + y + c = 0. \\
& \text{Tọa độ đỉnh } C \text{ là giao điểm của } BC \text{ và } d_C, \text{ là nghiệm của hệ phương trình:} \\
& \begin{cases} 2x + y + c = 0 \\ x + y - 3 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -c - 3 \\ y = c + 6 \end{cases} \Rightarrow C(-c - 3; c + 6). \\
& \text{Đường thẳng } AC \text{ vuông góc với } d_B \text{ nên } AC \text{ nhận VTCP của } d_B \text{ làm VTPT.} \\
& \text{Đường thẳng } d_B: x - 2 = 0 \text{ có VTPT } \vec{n}_B = (1; 0) \Rightarrow \text{VTCP } \vec{u}_B = (0; 1). \\
& \Rightarrow \text{VTPT của } AC \text{ là } \vec{n}_{AC} = (0; 1). \\
& \text{Phương trình đường thẳng } AC \text{ đi qua } A(2a; a) \text{ nhận } \vec{n}_{AC} = (0; 1) \text{ làm VTPT là:} \\
& 0 \cdot (x - 2a) + 1 \cdot (y - a) = 0 \Leftrightarrow y - a = 0. \\
& \text{Vì } C \in AC \text{ nên thay tọa độ } C \text{ vào phương trình } AC \text{ ta được: } (c + 6) - a = 0 \Leftrightarrow c = a - 6. \\
& \Rightarrow \text{Phương trình đường thẳng } BC \text{ là: } 2x + y + a - 6 = 0. \\
& \text{Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh } A \text{ chính là khoảng cách từ điểm } A \text{ đến đường thẳng } BC: \\
& d(A, BC) = \frac{|2(2a) + a + a - 6|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|6a - 6|}{\sqrt{5}}. \\
& \text{Theo giả thiết, } d(A, BC) = \frac{12}{\sqrt{5}} \text{ nên ta có phương trình:} \\
& \frac{|6a - 6|}{\sqrt{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}} \Leftrightarrow |6a - 6| = 12 \Leftrightarrow |a - 1| = 2 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a - 1 = 2 \\ a - 1 = -2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 3 \quad (\text{loại vì } a < 0) \\ a = -1 \quad (\text{thỏa mãn}) \end{array} \right. \\
& \text{Với } a = -1, \text{ ta có } y_A = a = -1. \\
& \text{Vậy } T = 1013|y_A| = 1013 \cdot |-1| = 1013.
\end{aligned}$