Giải thích các bước giải:

$\begin{align*}
&\text{Xét phương trình } x^2 + 7x + 1 = 0 \text{. Vì } \Delta = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 45 > 0 \\

&\text{ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt } x_1, x_2. \\
&\text{Theo hệ thức Viète, ta có:} \begin{cases} x_1 + x_2 = -7 \\ x_1 x_2 = 1 \end{cases} \\
&\text{Vì } x_1, x_2 \text{ là nghiệm của phương trình nên: } \\
&x_1^2 + 7x_1 + 1 = 0 \Rightarrow x_1^2 = -7x_1 - 1 \\
&x_2^2 + 7x_2 + 1 = 0 \Rightarrow x_2^2 = -7x_2 - 1 \\
\\
&\text{Ta có: } x_2^3 = x_2 \cdot x_2^2 = x_2(-7x_2 - 1) = -7x_2^2 - x_2 \\
&\Rightarrow x_2^3 = -7(-7x_2 - 1) - x_2 = 49x_2 + 7 - x_2 = 48x_2 + 7 \\
&\text{Thay vào mẫu thức } M\text{, ta được:} \\
&M = x_2^3 + 48x_1 + 334 = (48x_2 + 7) + 48x_1 + 334 \\
&M = 48(x_1 + x_2) + 341 = 48 \cdot (-7) + 341 = -336 + 341 = 5. \\
\\
&\text{Xét biểu thức dưới dấu căn: } E = 25x_1^2 - 28x_2 + 16 \\
&\text{Do } x_1 + x_2 = -7 \Rightarrow x_2 = -7 - x_1\text{, thay vào ta có: } E = 25x_1^2 - 28(-7 - x_1) + 16 = 25x_1^2 + 28x_1 + 212 \\
&\text{Vì } x_1^2 + 7x_1 + 1 = 0 \text{ nên } -16(x_1^2 + 7x_1 + 1) = 0\text{. Ta cộng thêm lượng này vào } E\text{ để tạo bình phương:} \\
&E = 25x_1^2 + 28x_1 + 212 - 16x_1^2 - 112x_1 - 16 \\
&E = 9x_1^2 - 84x_1 + 196 = (3x_1)^2 - 2 \cdot 3x_1 \cdot 14 + 14^2 = (3x_1 - 14)^2 \\
&\text{Dễ thấy } x_1 = \dfrac{-7 \pm \sqrt{45}}{2} < 0 \text{ nên } 3x_1 - 14 < 0\text{. Do đó: } \sqrt{E} = \sqrt{(3x_1 - 14)^2} = |3x_1 - 14| = 14 - 3x_1 \\
&\text{Từ đó, tử thức } T \text{ là:} \\
&T = \sqrt{E} + 7x_1 + 4x_2 + 29 = (14 - 3x_1) + 7x_1 + 4x_2 + 29 \\
&T = 4x_1 + 4x_2 + 43 = 4(x_1 + x_2) + 43 = 4 \cdot (-7) + 43 = -28 + 43 = 15 \\
&\text{Suy ra giá trị của cả phân thức trong biểu thức } A \text{ là: } \dfrac{T}{M} = \dfrac{15}{5} = 3. \\
\\
&\text{Khi đó: } A = 2x_1^3 + 3 + \dfrac{2}{x_1^3} + 2668 = 2\left(x_1^3 + \dfrac{1}{x_1^3}\right) + 2671 \\
&\text{Từ } x_1^2 + 7x_1 + 1 = 0\text{, do } x_1 \neq 0\text{, chia hai vế cho } x_1\text{ ta được: } x_1 + 7 + \dfrac{1}{x_1} = 0 \Rightarrow x_1 + \dfrac{1}{x_1} = -7 \\
&\text{Áp dụng hằng đẳng thức } a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)\text{:} \\
&x_1^3 + \dfrac{1}{x_1^3} = \left(x_1 + \dfrac{1}{x_1}\right)^3 - 3 \cdot x_1 \cdot \dfrac{1}{x_1} \cdot \left(x_1 + \dfrac{1}{x_1}\right) = (-7)^3 - 3 \cdot 1 \cdot (-7) = -343 + 21 = -322 \\
&\text{Thay giá trị vừa tìm được vào } A\text{:} \\
&A = 2 \cdot (-322) + 2671 = -644 + 2671 = 2027. \\
\\
&\text{Kết luận:} A = 2027.
\end{align*}$