Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Bài 1:} \\
& \text{Theo đề bài, } P(x) = ax^2 + bx + c \text{ chia hết cho 7 với mọi giá trị nguyên của } x. \\
& \text{Do đó, ta có thể chọn các giá trị cụ thể của } x \text{ để xét:} \\
& \bullet \; \text{Với } x = 0 \text{, ta có } P(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c. \\
& \text{Vì } P(0) \text{ chia hết cho 7 nên suy ra } c \text{ chia hết cho 7} \quad (1). \\
& \bullet \; \text{Với } x = 1 \text{, ta có } P(1) = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = a + b + c. \\
& \text{Vì } P(1) \text{ chia hết cho 7, mà } c \text{ chia hết cho 7 (theo (1)), nên suy ra } (a + b) \text{ chia hết cho 7} \quad (2). \\
& \bullet \; \text{Với } x = -1 \text{, ta có } P(-1) = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c = a - b + c. \\
& \text{Vì } P(-1) \text{ chia hết cho 7, mà } c \text{ chia hết cho 7 (theo (1)), nên suy ra } (a - b) \text{ chia hết cho 7} \quad (3). \\
& \text{Từ (2) và (3), áp dụng tính chất chia hết của một tổng và hiệu, ta có:} \\
& (a + b) + (a - b) \text{ chia hết cho 7 } \Rightarrow 2a \text{ chia hết cho 7.} \\
& \text{Vì 2 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau (ƯCLN(2,7) = 1) nên suy ra } a \text{ chia hết cho 7.} \\
& \text{Lại có } (a + b) \text{ chia hết cho 7, mà } a \text{ chia hết cho 7 nên suy ra } b \text{ chia hết cho 7.} \\
& \text{Vậy } a, b, c \text{ đều chia hết cho 7 (điều phải chứng minh).} \\
& \text{Bài 2:} \\
& \text{Đầu tiên, ta tìm nghiệm của đa thức } f(x): \\
& f(x) = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 3) = 0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - 1 = 0 \\ x + 3 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \\ x = -3 \end{array} \right. \\
& \text{Vậy đa thức } f(x) \text{ có hai nghiệm là } x = 1 \text{ và } x = -3. \\
& \text{Theo đề bài, nghiệm của } f(x) \text{ cũng là nghiệm của } g(x). \text{ Do đó, ta có } g(1) = 0 \text{ và } g(-3) = 0. \\
& \bullet \; \text{Với } g(1) = 0: \\
& 1^3 - a \cdot 1^2 + b \cdot 1 - 3 = 0 \\
& \Leftrightarrow 1 - a + b - 3 = 0 \\
& \Leftrightarrow -a + b - 2 = 0 \Leftrightarrow b = a + 2 \quad (1) \\
& \bullet \; \text{Với } g(-3) = 0: \\
& (-3)^3 - a \cdot (-3)^2 + b \cdot (-3) - 3 = 0 \\
& \Leftrightarrow -27 - 9a - 3b - 3 = 0 \\
& \Leftrightarrow -9a - 3b - 30 = 0 \\
& \Leftrightarrow 3a + b + 10 = 0 \quad (\text{chia cả hai vế cho } -3) \quad (2) \\
& \text{Thay } b = a + 2 \text{ từ (1) vào (2), ta được:} \\
& 3a + (a + 2) + 10 = 0 \\
& \Leftrightarrow 4a + 12 = 0 \\
& \Leftrightarrow 4a = -12 \\
& \Leftrightarrow a = -3. \\
& \text{Thay } a = -3 \text{ vào (1), ta được: } b = -3 + 2 = -1. \\
& \text{Vậy các hệ số cần tìm là } a = -3 \text{ và } b = -1.
\end{aligned}$