Bài `2:`

`c)`

Diện tích `triangleOHK` là: `S=1/2. OH . HK`

Từ `b`, ta có `OK=R^2/(OA)`

Vì `O,A` cố định nên `K` là điểm cố định trên `OA`

Trong `triangleOHK` vuông tại `H` có:

`OH^2+HK^2=OK^2` (không đổi)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

`OH . Hk le (OH^2 + HK^2)/2=(OK^2)/2`

`=> S_(OHK) le 1/2 . (OK^2)/2=(OK^2)/4`

Dấu "=" xảy ra khi `OH=OK` hay `triangleOHK` vuông cân tại `H`

`=> hat{HOK}=45^o`

Khi đó, `hat{MOA}=45^o`

Trong `triangleOAM` có `AM=OA . tan 45^o = OA`

Vậy điểm `M` nằm trên đường thẳng `d` sao cho `AM=OA` thì diện tích `triangleOHK` đạt giá trị lớn nhất.

Bài `4:`

Ta có `H` là trực tâm của `triangleABC`

Theo tính chất đối xứng của trực tâm qua các cạnh của tam giác, `H` và `M` đối xứng nhau qua `AC`, `H` và `N` đối xứng nhau qua `AB`

`=> AH=AM; AH=AN`

Xét `triangleAMN`, theo bất đẳng thức tam giác: `MN<AM+AN`

Hay `MN<AH+AH=2AH`

`=> (MN)/(AH)<2` (đpcm)

`cccolor{#8FBC8F}{~} cccolor{#C1FFC1}{b} cccolor{#B4EEB4}{u} cccolor{#9BCD9B}{i} cccolor{#698B69}{g} cccolor{#2E8B57}{i} cccolor{#54FF9F}{a} cccolor{#4EEE94}{p} cccolor{#43CD80}{h} cccolor{#98FB98}{o} cccolor{#008B45}{n} cccolor{#00FF00}{g} cccolor{#00EE00}{9} cccolor{#00CD00}{9} cccolor{#ADFF2F}{9} cccolor{#228B22}{~}`
            $\color{HotPink}{\heartsuit}$
$\color{pink}{\heartsuit 𝕻𝖍𝖚𝖔𝖓𝖌𝖌 \ 𝕷𝖎𝖓𝖍𝖍 \heartsuit}$