Xét hiệu: $A - (x^2 - 1)^2 = (x^4 - x^2 + 2x + 2) - (x^4 - 2x^2 + 1) = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$

Vì $(x+1)^2 \ge 0$ nên $A \ge (x^2 - 1)^2$ với mọi $x$

Trường hợp dấu $"=":$ $A = (x^2 - 1)^2 \Leftrightarrow (x+1)^2 = 0 \Leftrightarrow x = -1$

Xét hiệu:

$(x^2 + 1)^2 - A = (x^4 + 2x^2 + 1) - (x^4 - x^2 + 2x + 2) = 3x^2 - 2x - 1$

Phân tích đa thức: $3x^2 - 2x - 1 = (x-1)(3x+1)$

Với $x > 1$ hoặc $x < -1/3$, thì $3x^2 - 2x - 1 > 0$, suy ra $A < (x^2 + 1)^2$

Trường hợp dấu $"=":$ $A = (x^2 + 1)^2 \Leftrightarrow 3x^2 - 2x - 1 = 0$

Vì $x$ nguyên nên $x = 1$

Với $x > 1$ hoặc $x < -1$, ta có $(x^2 - 1)^2 < A < (x^2 + 1)^2$

Số chính phương duy nhất nằm giữa $(x^2 - 1)^2$ và $(x^2 + 1)^2$ là $(x^2)^2$

Nếu $A = x^4$, ta có $-x^2 + 2x + 2 = 0$

Phương trình này không có nghiệm nguyên (do $\Delta' = 3$ không là số chính phương)

Từ các đánh giá trên, nghiệm nguyên của bài toán là $x \in \{1; -1\}$