Bài 1: 

A = $\frac{1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2^{2023} }{2^{2025} - 2}$ 

Đặt M = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2^{2023} ( 1 )

Nhân cả 2 vế của M với 2 ta được :

2 · M = 2 · ( 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2^{2023} 

2 · M = 2 + 2² + 2³ + 2^{4} + ... + 2^{2024}  ( 2 )

Trừ ( 2 ) cho ( 1 ) theo từng vế :

2M - M = ( 2 + 2² + 2³ + 2^{4} + ... + 2^{2024} ) - ( 1 + 2² + 2³ + ... + 2^{2024} )

M = 1 + 2^{2024}$

Vậy A = $\frac{1 + 2^{2024} }{2^{2025} + 2 }$ = $\frac{1}{2}$ 

Vậy A = $\frac{1}{2}$ 

Bài 2: 

Ta có : $\frac{24}{36}$ = $\frac{2}{3}$ 

Theo bài ra phân số cần tìm có dạng $\frac{2 · m}{3 · m}$ 

và BCNN ( 2 · m, 3 · m ) = 90

m · BCNN ( 2, 3 ) = 90

m · 6                    = 90

m                         = 90 : 6

m                         = 15

Vạy phân số cần tìm là $\frac{2 · m}{3 · m}$ = $\frac{2 · 15}{3 · 15}$ = $\frac{30}{45}$ 

Bài 3:

Ta có : $\frac{32}{60}$ = $\frac{8}{15}$ 

Theo bài ra phân số cần tìm có dạng $\frac{8 · m}{15 · m}$ ( m ∈ N* )

Theo bài ra tổng của tử và mẫu số bằng 115.

Ta có 8 · m + 15 · m = 115

         m · ( 8 + 15 )   = 115

         m · 23              = 115

         m                     = 115 : 23

         m                     = 5

Vậy phân số cần tìm là $\frac{8 · m}{15 · m}$ = $\frac{8 · 5}{15 · 5}$ = $\frac{40}{75}$