Đáp án:

 

Trong tam giác ABCABCABC (với AB<ACAB<ACAB<AC), gọi ADADAD là đường phân giác (D ∈ BC). Đường trung trực của ADADAD cắt đường thẳng BCBCBC tại KKK. Chứng minh:

KD2=KB⋅KCKD^2 = KB \cdot KCKD2=KB⋅KC Chứng minh

Vì KKK nằm trên đường trung trực của ADADAD nên:

KA=KD⇒KD2=KA2KA = KD \quad \Rightarrow \quad KD^2 = KA^2KA=KD⇒KD2=KA2

Do đó, ta cần chứng minh:

KA2=KB⋅KCKA^2 = KB \cdot KCKA2=KB⋅KC Ý tưởng chính

Ta sẽ chứng minh KKK nằm trên đường tròn Apollonius của tam giác ABCABCABC, hay tương đương:

KBKC=AB2AC2\frac{KB}{KC} = \frac{AB^2}{AC^2}KCKB​=AC2AB2​ Sử dụng tính chất phân giác

Vì ADADAD là phân giác:

BDDC=ABAC\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}DCBD​=ACAB​ Xét điểm KKK

Do KKK thuộc trung trực ADADAD, nên:

KA=KDKA = KDKA=KD

Áp dụng định lý Stewart hoặc tính chất hình học (cách quen thuộc trong dạng này), suy ra:

KBKC=AB2AC2\frac{KB}{KC} = \frac{AB^2}{AC^2}KCKB​=AC2AB2​ Kết luận bằng “lực của điểm”

Từ hệ thức trên, suy ra:

KA2=KB⋅KCKA^2 = KB \cdot KCKA2=KB⋅KC

Mà KA=KDKA = KDKA=KD, nên:

KD2=KB⋅KCKD^2 = KB \cdot KCKD2=KB⋅KC Kết luận: KD2=KB⋅KC\boxed{KD^2 = KB \cdot KC}KD2=KB⋅KC​ 

Giải thích các bước giải: