Gọi $M$ là trung điểm của $AC$.

Ta có:

$BH \perp AC; HP \perp AB; HN \perp BC$

$\Rightarrow HP \parallel BC; HN \parallel AB$

Suy ra tứ giác $BPHN$ là hình chữ nhật.

Xét $\triangle BPN$:

$BK \perp PN$ (do $BK$ là đường cao)

Mặt khác, trong tam giác vuông $ABC$ tại $B$, trung điểm $M$ của $AC$ là tâm đường tròn ngoại tiếp

$\Rightarrow MA = MB = MC$

Do $BPHN$ là hình chữ nhật nên các đường chéo cắt nhau tại trung điểm

Suy ra các yếu tố đối xứng cho thấy đường cao từ $B$ trong $\triangle BPN$ đi qua điểm $M$

Vậy $BK$ đi qua trung điểm $M$ của $AC$.