Đáp án:

c) $CD$ là đường kính của đường tròn $(O)$

$\Rightarrow\widehat{CMD}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow\widehat{AMC}=180^\circ-\widehat{CMD}=180^\circ-90^\circ$

$\Rightarrow\widehat{AMC}=90^\circ=\widehat{ACD}$ (tiếp tuyến)

Mà có chung góc tại đỉnh $A$

$\Rightarrow\Delta AMC\backsim\Delta ACD$ (góc-góc)

$\Rightarrow\dfrac{AC}{AM}=\dfrac{AD}{AC}\Rightarrow AC^2=AD.AM$. (1)

Gọi $H$ là giao điểm của $AO$ và $BC$.

$AB=AC$ (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow A$ thuộc đường trung trực của $BC$

$OB=OC =R(O)$

$\Rightarrow O$ thuộc đường trung trực của $BC$

$\Rightarrow AO$ là đường trung trực của $BC$

$\Rightarrow AO\,\bot\,BC$ tại $H$.

Có $\Delta ACO$ vuông tại $C$ có đường cao $CH$

$\Rightarrow AC^2=AH.AO$ (hệ thức lượng) (2)

Xét: $\widehat{AHK}=90^\circ=\widehat{AIO}$ và chung góc tại đỉnh $A$

$\Rightarrow\Delta AHK\backsim\Delta AIO$ (góc-góc)

$\Rightarrow\dfrac{AH}{AK}=\dfrac{AI}{AO}\Rightarrow AI.AK=AH.AO$ (3)

Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow AI.AK=AM.AD$ (4)

Xét: $OM=OD,\widehat{OIM}=\widehat{OID}=90^\circ,OI$ chung

$\Rightarrow\Delta OIM=\Delta OID$ (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

$\Rightarrow IM=ID$

$\Rightarrow AM+AD=AI-IM+AI+ID=2AI$

Kết hợp với (4): $2.AI.AK=2AM.AD$

$\Rightarrow (AM+AD).AK=2AM.AD$

$\Rightarrow\dfrac{AM+AD}{AM.AD}=\dfrac2{AK}$

$\Rightarrow\dfrac1{AM}+\dfrac1{AD}=\dfrac2{AK}$