Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a)

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$

$AB = 2a$

$\Rightarrow AC = AB = 2a$

$\Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2} \cdot 2a \cdot 2a = 2a^2$

Vì $SA \perp (ABC)$ nên $AB$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ lên mặt phẳng $(ABC)$

$\Rightarrow$ Góc tạo thành giữa $SB$ và $(ABC)$ là $\widehat{SBA} = 60^\circ$

Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A$:

$\Rightarrow SA = AB \cdot \tan 60^\circ = 2a\sqrt{3}$

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SA= \dfrac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot 2a\sqrt{3} = \dfrac{4a^3\sqrt{3}}{3}$

b)

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$

Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên trung tuyến $AM$ đồng thời là đường cao

$\Rightarrow AM \perp BC$ (1)

Ta có $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp BC$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow BC \perp (SAM)$

$\Rightarrow BC \perp SM$

$(SBC)$ và $(ABC)$ giao nhau theo giao tuyến $BC$

Có $SM \subset (SBC)$ và $SM \perp BC$

Có $SM \subset (SBC)$ và $SM \perp BC$

$\Rightarrow ((SBC), (ABC)) = (SM, AM) = \widehat{SMA}$

$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{4a^2 + 4a^2} = 2a\sqrt{2}$

$\Rightarrow AM = \dfrac{1}{2}BC = a\sqrt{2}$

$\Delta SAM$ vuông tại $A$

$\tan \widehat{SMA} = \dfrac{SA}{AM} = \dfrac{2a\sqrt{3}}{a\sqrt{2}} = \sqrt{6}$

$\Rightarrow \widehat{SMA} = \arctan\sqrt{6}$

c)

Kẻ $AH \perp SM$ tại $H$

$BC \perp (SAM)$

Mà $AH \subset (SAM)$

$\Rightarrow BC \perp AH$

Ta có: $\begin{cases} AH \perp SM \\ AH \perp BC \end{cases}$

$\Rightarrow AH \perp (SBC)$

$\Rightarrow d(A, (SBC)) = AH$

Xét $\Delta SAM$ vuông tại $A$, đường cao $AH$:

$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AM^2}$

$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{(2a\sqrt{3})^2} + \dfrac{1}{(a\sqrt{2})^2}$

$AH^2 = \dfrac{12a^2}{7}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$

$d(A, (SBC)) = \dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$