Gọi hai tiêu điểm của elip là F1(−c,0)F_1(-c,0)F1​(−c,0), F2(c,0)F_2(c,0)F2​(c,0).

Vì MMM nhìn hai tiêu điểm dưới góc vuông nên:

∠F1MF2=90∘⇒MF12+MF22=F1F22=(2c)2=4c2\angle F_1MF_2 = 90^\circ \Rightarrow MF_1^2 + MF_2^2 = F_1F_2^2 = (2c)^2 = 4c^2∠F1​MF2​=90∘⇒MF12​+MF22​=F1​F22​=(2c)2=4c2

Tính:

MF12=(23+c)2+22,MF22=(23−c)2+22MF_1^2 = (2\sqrt{3}+c)^2 + 2^2,\quad MF_2^2 = (2\sqrt{3}-c)^2 + 2^2MF12​=(23​+c)2+22,MF22​=(23​−c)2+22

Cộng lại:

MF12+MF22=32+2c2MF_1^2 + MF_2^2 = 32 + 2c^2MF12​+MF22​=32+2c2

Suy ra:

32+2c2=4c2⇒c2=1632 + 2c^2 = 4c^2 \Rightarrow c^2 = 1632+2c2=4c2⇒c2=16

Elip có:

c2=a2−b2=16(1)c^2 = a^2 - b^2 = 16 \quad (1)c2=a2−b2=16(1)

Điểm M(23,2)M(2\sqrt{3},2)M(23​,2) thuộc elip:

12a2+4b2=1\frac{12}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1a212​+b24​=1

Thế b2=a2−16b^2 = a^2 - 16b2=a2−16:

12a2+4a2−16=1\frac{12}{a^2} + \frac{4}{a^2 - 16} = 1a212​+a2−164​=1

Quy đồng và rút gọn được:

a4−32a2+192=0a^4 - 32a^2 + 192 = 0a4−32a2+192=0

Đặt t=a2t = a^2t=a2, ta có:

t2−32t+192=0t^2 - 32t + 192 = 0t2−32t+192=0

Giải ra:

t=24 hoặc 8t = 24 \text{ hoặc } 8t=24 hoặc 8

Vì a2>c2=16a^2 > c^2 = 16a2>c2=16 nên chọn:

a2=24⇒b2=8a^2 = 24 \Rightarrow b^2 = 8a2=24⇒b2=8

Cuối cùng:

S=a2+b2=24+8=32S = a^2 + b^2 = 24 + 8 = \boxed{32}S=a2+b2=24+8=32​