Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Xét `∆MAB` và `∆MEC` có:

`MA = ME` (gt)

`hat(AMB) = hat(EMC)` (Đối đỉnh)

`MB = MC` (`M` là trung điểm `BC`)

`=> ∆MAB = ∆MEC (c-g-c)`

`=> hat(MAB) = hat(MEC)` (`2` góc tương ứng)

Mà `2` góc này ở vị trí so le trong

`=>AB //// EC`

Ta có `AB bot AC` (`∆ABC` vuông tại `A`)

Mà `AB //// EC`

`=> AC bot EC`

Xét `∆BPM` và `∆CQM` có:

`hat(BPM) = hat(CQM) = 90°` (`BP, CQ bot AE`)

`MB = MC` (gt)

`hat(PMB) = hat(QMC)` (Đối đỉnh)

`=> ∆BPM = ∆CQM (ch-gn)`

`=> MP = MQ` (`2` cạnh tương ứng)

Vì `MA = ME` (gt)

`=>M` là trung điểm của đoạn thẳng `AE`

Ta có:

`AP = AM - MP` 

`AQ = AM + MQ`

`=> AP + AQ = (AM - MP) + (AM + MQ)`

Vì `MP = MQ` (cmt)

`=>AP + AQ = AM + AM = 2 . AM`

Xét `∆ABC` vuông tại `A` có:

`M` là trung điểm `BC`

`=>AM` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `BC`

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền

`=> AM = 1/2 BC`

`=> 2 . AM = BC`

`=>AP + AQ =BC`