Bài `5`

`a)` Xét $\triangle HBA$ và $\triangle HAC$ có:

$\widehat{BHA} = \widehat{AHC} = 90^\circ$ (do $AH \perp BC$)

$\widehat{HBA} = \widehat{HAC}$ (cùng phụ với $\widehat{BAH}$)

$\Rightarrow \triangle HBA \sim \triangle HAC$ `(g.g)`

$\Rightarrow \frac{HB}{HA} = \frac{HA}{HC}$ (tỉ số đồng dạng)

$\Rightarrow HA^2 = HB \cdot HC$ (đpcm)

`b)` Từ `a,` ta có: $\dfrac{HB}{HA} = \dfrac{HA}{HC}$

Mà $HB = 2HN$ và $HA = 2HM$ (do $N, M$ lần lượt là trung điểm của $BH, AH$)

Thay vào tỉ số: $\dfrac{2HN}{2HM} = \dfrac{HA}{HC} \Rightarrow \frac{HN}{HM} = \dfrac{HA}{HC}$

Xét $\triangle AHN$ và $\triangle CHM$ có:

$\widehat{AHN} = \widehat{CHM} = 90^\circ$

$\dfrac{HN}{HM} = \dfrac{HA}{HC}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle AHN \sim \triangle CHM$ `(c.g.c)` (đpcm)

`c)` Gọi $K$ là giao điểm của $AN$ và $CM$

Từ $\triangle AHN \sim \triangle CHM$ (cmt), ta có: $\widehat{HAN} = \widehat{HCM}$

Xét $\triangle AHM$ vuông tại $H$ có: $\widehat{HAM} + \widehat{HMA} = 90^\circ$

Mà: $\widehat{HAM} = \widehat{HAN} + \widehat{NAM}$ (góc tương ứng)

Xét trong $\triangle AKM$ (với $K$ là giao điểm $AN$ và $CM$):

Ta có $\widehat{KAN} = \widehat{HCM}$ (từ cặp tam giác đồng dạng)

Trong $\triangle CHM$ vuông tại $H$, ta có: $\widehat{HCM} + \widehat{HMC} = 90^\circ$

Suy ra: $\widehat{KAN} + \widehat{KMA} = 90^\circ$ (vì $\widehat{HMC}$ chính là $\widehat{KMA}$)

Trong $\triangle AKM$, tổng các góc bằng $180^\circ$:

$\widehat{AKM} = 180^\circ - (\widehat{KAN} + \widehat{KMA}) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

$\Rightarrow AK \perp KM$ hay $AN \perp CM$ (đpcm)

Bài `6`

`a)` Xét $\triangle HEB$ và $\triangle HDC$ có:

$\widehat{HEB} = \widehat{HDC} = 90^\circ$ (do $BD, CE$ là đường cao)

$\widehat{EHB} = \widehat{DHC}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \triangle HEB \sim \triangle HDC$ `(g.g)`

$\Rightarrow \dfrac{HE}{HD} = \dfrac{HB}{HC}$ (tỉ số đồng dạng)

$\Rightarrow HE \cdot HC = HD \cdot HB$ (đpcm)

`b)` Từ câu `a,` ta có tỉ số: $\dfrac{HE}{HD} = \dfrac{HB}{HC} \Rightarrow \dfrac{HE}{HB} = \dfrac{HD}{HC}$

Xét $\triangle HDE$ và $\triangle HCB$ có:

$\widehat{DHE} = \widehat{CHB}$ (hai góc đối đỉnh)

$\dfrac{HE}{HB} = \dfrac{HD}{HC}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle HDE \sim \triangle HCB$ `(c.g.c)` (đpcm)

`c)` Xét $\triangle ABD$ và $\triangle ACE$ có:

$\widehat{A}$ là góc chung

$\widehat{ADB} = \widehat{AEC} = 90^\circ$

$\Rightarrow \triangle ABD \sim \triangle ACE$ `(g.g)`

$\Rightarrow \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$ (tỉ số đồng dạng)

Xét $\triangle ADE$ và $\triangle ABC$ có:

$\widehat{A}$ là góc chung

$\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle ADE \sim \triangle ABC$ `(c.g.c)` (đpcm)