Giải thích các bước giải:

a.Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A, AH\perp BC$

$\to AH.BC=AB.AC(=2S_{ABC})$

b.Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to BC^2=AB^2+AC^2$

$\to BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=15$

Mà $AH.BC=BA.AC$

$\to AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{9\cdot 12}{15}$ 

$\to AH=7.2$

Vì $HD\perp AB, HE\perp AC, AB\perp AC$

$\to ADHE$ là hình chữ nhật

$\to DE=AH=7.2$

c.Xét $\Delta ADH,\Delta DHB$ có:

$\widehat{ADH}=\widehat{HDB}(=90^o)$

$\widehat{DHA}=90^o-\widehat{DHB}=\hat B$

$\to \Delta DAH\sim\Delta DHB(g.g)$

$\to \dfrac{DA}{DH}=\dfrac{DH}{DB}$

$\to DH^2=DA.DB$

Tương tự: $EA.EC=EH^2$

$\to DA.DB+EA.EC=DH^2+EH^2=ED^2=AH^2$

d.Gọi $AI\cap DE=F$

Ta có:

$\widehat{IAC}=\widehat{FAE}=90^o-\widehat{AEF}=90^o-\widehat{AED}=\widehat{ADE}=\widehat{HAD}=90^o-\widehat{HAC}=\hat C$

$\to \Delta AIC$ cân tại $I$

$\to IA=IC$

Mà $\widehat{IAB}=90^o-\widehat{IAC}=90^o-\hat C=\hat B$

$\to \Delta IAB$ cân tại $I$

$\to IA=IB$

$\to IB=IC$

$\to I$ là  trung điểm $BC$