Ta có: $N = (a^2 - b^2)(b - c) + c^2 - c^3$

Vì $0 \leq a \leq b \leq 1 \implies a^2 - b^2 \leq 0$

`TH1:` Nếu $b \geq c \implies (a^2 - b^2)(b - c) \leq 0$

Khi đó: $N \leq c^2 - c^3$

`TH2:` Nếu $b < c$, ta chọn $a = 0$ để biểu thức đạt GTLN:

$N = -b^2(b - c) + c^2 - c^3 = -b^3 + b^2c + c^2 - c^3$

Xét hàm $g(b) = -b^3 + b^2c$ trên $[0, c]$, đạt cực đại khi $b = \dfrac{2c}{3}$

Thay vào: $N \leq \dfrac{4}{27}c^3 + c^2 - c^3 = c^2 - \dfrac{23}{27}c^3$

Xét hàm số $f(c) = c^2 - c^3$ trên $[0, 1]$:

$f'(c) = 2c - 3c^2 = 0 \iff c = \dfrac{2}{3}$

Bảng biến thiên cho thấy $f(c)$ đạt GTLN tại $c = \dfrac{2}{3}$:

$f\left(\dfrac{2}{3}\right) = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{4}{27}$

So sánh các trường hợp, ta có `Max` $N = \dfrac{4}{27}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a = b = c = \dfrac{2}{3}$ hoặc $a = b = 0, c = \dfrac{2}{3}$