Tìm 2 phân số x, y trái dấu không đối nhau thỏa mãn:

\(\dfrac{1}{x+y} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\)

Đáp án:

$\dfrac1{x+y}=\dfrac{x+y}{xy}$

$\Rightarrow (x+y)^2=xy$

$\Rightarrow x^2+2xy+y^2=xy$

$\Rightarrow x^2+xy+y^2=0$

$\Rightarrow x^2-2xy+y^2=3xy$

$\Rightarrow (x-y)^2=3xy$

$\Rightarrow\dfrac{(x-y)^2}{(x+y)^2}=\dfrac{3xy}{xy}=3$

$\Rightarrow\left(\dfrac{x-y}{x+y}\right)^2=3$.

Cả hai trường hợp $\sqrt3$ và $-\sqrt3$ đều có chung cách làm, ta xét 1 trường hợp:

Với $\dfrac{x-y}{x+y}=\sqrt3$

$\Rightarrow x-y=\sqrt3(x+y)$

$\Rightarrow x-y=x\sqrt3+y\sqrt3$

$\Rightarrow x(1-\sqrt3)=y(\sqrt3+1)$

$\Rightarrow \dfrac xy=\dfrac{1+\sqrt3}{1-\sqrt3}$

$\Rightarrow \dfrac xy=\dfrac{(1+\sqrt3)^2}{(1-\sqrt3)(1+\sqrt3)}$

$\Rightarrow \dfrac xy=\dfrac{4+2\sqrt3}{-2}=-2-\sqrt3$

Vế phải là số vô tỉ nên không có không thể có dạng $\dfrac xy$ với $x,y$ là hai phân số (hữu tỉ) không đối nhau)

Tương tự với trường hợp $\dfrac{x-y}{x+y}=-\sqrt3$.