Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a) CM : AD = BC.

Xét `ΔAFD` và `ΔCFB` có

`AF = CF` ( Do `F` là trung điểm `AC`)

`\hat{AFD} = \hat{CFB}` ( đối đỉnh)

`FD = FB` (gt)

Suy ra `ΔAFD = ΔCFB ( c.g.c)` do đó `AD = BC` ( 2 cạnh tương ứng).

b) CM : A là trung điểm của HD.

Xét `ΔAEH` và `ΔBEC` có

`AE = BE` ( do `E` là trung điểm `AB`)

`\hat{AEH} =\hat{BEC}` ( đối đỉnh)

`EH = EC` (gt)

Suy ra `ΔAEH = ΔBEC ( c.g.c)`

Suy ra `BC = AH` ( 2 cạnh tương ứng) 

Và `\hat{EAH} = \hat{EBC}` ( 2 góc tương ứng)

2 góc này ở vị trí so le trong  = nhau suy ra `BC`  // `AH`

Theo phần a) `ΔAFD = ΔCFB` suy ra `\hat{FAD} =\hat{FCB}` ( 2 góc tương ứng)

Suy ra `BC` // `AD`

Vì `BC` // `AH`, `BC` // `AD` nên `D, A, H` thẳng hàng , mà `BC = AD = AH (cmt)`

Suy ra `A` là trung điểm của `HD`

c) CM : CD // AB

Xét `ΔAFB` và `ΔCFD` có 

`FA = FC` (gt)

`\hat{AFB} = \hat{CFD}` ( đối đỉnh)

`FC = FD` (gt)

Suy ra `ΔAFB = ΔCFD ( c.g.c) ⇒ \hat{FAB} =\hat{FCD}` ( 2 góc tương ứng)

2 góc này ở vị trí so le trong = nhau suy ra `CD` // `AB`

d) CM : AP, BD, CH đồng quy

Xét `ΔABC` và `ΔBAH` có

`BC = AH (cmt) ; \hat{ABC} =\hat{BAH}` (đối đỉnh) ; `AB` chung

Suy ra `ΔABC = ΔBAH (c.g.c)` suy ra `BH = AC` ( 2 cạnh tương ứng)

Và `\hat{AHB} = \hat{ACB}` ( 2 góc tương ứng)

Mà `\hat{ACB} = \hat{CAD}` (sole trong) `⇒ \hat{CAD} =\hat{AHB}`

2 góc này ở vị trí đồng vị = nhau suy ra `AB` // `HP`

Xét `ΔABC` và `ΔPCB` có

`\hat{CBP} = \hat{BCA}` ( sole trong)

`BC` chung ;` \hat{BCP} = \hat{ABC}` ( đối đỉnh)

Suy ra `ΔABC = ΔPCB ( g.c.g)` suy ra `AC = BP ; AB = PC` ( 2 cạnh tương ứng)

Mà `AC = HB (cmt )` suy ra `HB = BP` suy ra` B` là trung điểm `HP`

Do đó `DB` là đường trung tuyến `ΔDHP`

Lại có `AB = CD (cmt)` suy ra `CD = PC` suy ra `C` là trung điểm `DP`

Do đó  `HC` là đường trung tuyến của `ΔDHP`

`A` là trung điểm `HD (cmt)` suy ra `PA` là đường trung tuyến `ΔDHP`

Như vậy `AP, BD, HC` là 3 đường trung tuyến `ΔDHP` nên chúng đồng quy.