Đáp án:

Các cặp số `(x,y)` thỏa mãn là `{(3;3),(9;1),(29;9),(11;18)}`

Giải thích các bước giải:

Ta có:

`p = \frac{(x+1)(xy-2)}{xy+5} `  `(`Gọi `p` là số nguyên tố, `(x,y \in \mathbb{Z}^+)`

`p(xy+5)=(x+1)(xy-2)`

Xét `xy=1 \Rightarrow (x,y)=(1;1)\Rightarrow p=-\frac{1}{3}\notin P` (Loại)

Xét `xy=2 \Rightarrow (x,y)\in{(1;2),(2;1)}\Rightarrow p=0\notin P` (Loại)

Vậy `xy\ge3 \Rightarrow xy-2\ge1`

Ta có:

ƯCLN `(xy+5,xy-2)=`ƯCLN `(xy+5-(xy-2),xy-2)=` ƯCLN `(7,xy-2)`

ƯCLN`(xy+5,xy-2)∈{1;7}`

TH1: ƯCLN`= 1`

`(xy+5)∣(x+1)\Rightarrow x+1\ge xy+5`

`\Rightarrow x-xy-4\ge0` (vô lý)

`\Rightarrow` loại

TH2: ƯCLN `=7`

`\Rightarrow xy+5=7m\ (m\ge2)`

`\Rightarrow xy-2=7(m-1)`

`\Rightarrow p=\frac{(x+1)7(m-1)}{7m}=\frac{(x+1)(m-1)}{m}`

Vì `(m,m-1)=1\Rightarrow m|(x+1)\Rightarrow x+1=cm`

`\Rightarrow p=c(m-1)`

Khả năng 2.1: $\left \{ {{c=p} \atop {m-1=1}} \right.$

`m−1=1⇒m=2`  

Thế $m=2$ vào $xy+5=7m \Rightarrow xy+5=14 \Rightarrow xy=9$

Các cặp $(x,y)$ nguyên dương có tích bằng 9: $(1;9), (3;3), (9;1)$

Thử lại:

$(x,y)=(1;9) \Rightarrow p=\dfrac{(1+1)(9-2)}{9+5}=1 \notin P$ (Loại)

$(x,y)=(3;3) \Rightarrow p=\dfrac{(3+1)(9-2)}{9+5}=2 \in P$ (Thỏa mãn)

$(x,y)=(9;1) \Rightarrow p=\dfrac{(9+1)(9-2)}{9+5}=5 \in P$ (Thỏa mãn)

Khả năng 2.2: $\left \{ {{c=1} \atop {m-1=p}} \right.$

`c = 1 ⇒ x + 1 = m`

Thế `m = x + 1` vào `xy + 5 = 7m ⇒ xy + 5 = 7(x + 1)`

`⇒ xy − 7x − 7y + 49 = 44`

`⇒ x(y − 7) − 7(y − 7) = 44`

`⇒ (x − 7)(y − 7) = 44`

Vì `x, y ≥ 1 ⇒ x − 7 ≥ −6, y − 7 ≥ −6`

Các cặp ước của `44` là: `1·44, 2·22, 4·11`

Giải các hệ phương trình tương ứng:

$\left \{ {{x−7=1} \atop {y−7=44}} \right.⇒\left \{ {{x=8} \atop {y=51}} \right.⇒p=m−1=(x+1)−1=8∉P (Loại)$ 

$\left \{ {{x−7=44} \atop {y−7=1}} \right.⇒\left \{ {{x=51} \atop {y=8}} \right.⇒p=51∉P$ (Loại) 

$\left \{ {{x−7=2} \atop {y−7=22}} \right.⇒\left \{ {{x=9} \atop {y=29}} \right.⇒p=9∉P$  (Loại)  

$\left \{ {{x−7=22} \atop {y−7=2}} \right.⇒\left \{ {{x=29} \atop {y=9}} \right.⇒p=29∈P$ (Thỏa mãn)

$\left \{ {{x−7=4} \atop {y−7=11}} \right.⇒\left \{ {{x=11} \atop {y=18}} \right.⇒p=11∈P$ (Thỏa mãn)

$\left \{ {{x−7=11} \atop {y−7=4}} \right.⇒\left \{ {{x=18} \atop {y=11}} \right.⇒p=18∉P$ (Loại) 

Kết quả:

Các cặp số `(x,y)` thỏa mãn là `{(3;3),(9;1),(29;9),(11;18)}`