a) Xét $\Delta ABE$ và $\Delta DBE$ có:

`@` $AB = DB$ (gt)

`@` $\widehat{ABE} = \widehat{DBE}$ (do $BE$ là phân giác $\widehat{B}$)

`@` $BE$ chung

$\Rightarrow \Delta ABE = \Delta DBE$ (c.g.c)

$\Rightarrow AE = DE$ (hai cạnh tương ứng).

b) Từ $\Delta ABE = \Delta DBE \Rightarrow \widehat{BAE} = \widehat{BDE}$ (hai góc tương ứng).

Ta có:

$\begin{cases} \widehat{BAE} + \widehat{IAE} = 180^\circ \text{ (kề bù)} \\ \widehat{BDE} + \widehat{CDE} = 180^\circ \text{ (kề bù)} \end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{IAE} = \widehat{CDE}$

Xét $\Delta AEI$ và $\Delta DEC$ có:

`@` $\widehat{IAE} = \widehat{CDE}$ (cmt)

`@` $AE = DE$ (cmt)

`@` $\widehat{AEI} = \widehat{DEC}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta AEI = \Delta DEC$ (g.c.g).

c) Từ $\Delta AEI = \Delta DEC \Rightarrow AI = DC$ (hai cạnh tương ứng).

Ta có:

$\begin{cases} BI = AB + AI \\ BC = DB + DC \end{cases}$

Mà $AB = DB$ (gt) $\Rightarrow BI = BC$

$\Rightarrow \Delta BIC$ cân tại $B$.

Trong $\Delta BIC$ cân tại $B$, $BE$ là đường phân giác góc ở đỉnh

$\Rightarrow BE$ đồng thời là đường cao của $\Delta BIC$.

Vậy $BE \perp CI$.